Соотношения между напряжениями и деформациями в изотропных телах

314. Теперь, мы предположим, что свойства нашего идеального материала, когда дело касается соотношений между напряжениями и деформациями, одни и те же по всем направлениям. Эту гипотезу высказывают кратко, говоря, что

рассматриваемый материал изотропен. Это означает, что свойства материала не связаны с направлением. Противоположное наблюдается в том случае, когда строение материала «волокнисто» (например, дерево).

Не следует забывать разницы между предположениями об изотропности и однородности материала. Первое является специальным утверждением о свойствах зависимости между напряжением и деформацией в данной точке, Второе — утверждением о том, что свойства напряжения и деформации, каковы бы они вообще ни были, — одни и те же во всех точках. Мы можем представить себе материалы, которые однородны, но не изотропны, например, дерево с правильными волокнами. Равным образом мы можем представить себе материал, который является совокупностью различных изотропных материалов и, следовательно, сам является изотропным, но он, очевидно, не будет однородным.

316. В случае изотропного материала мы сразу же можем показать, что только две независимые постоянные входят в обобщенный закон Гука. Для этого мы должны использовать результаты предыдущих глав. Так, в теории напряжений (гл. VIII, § 276) мы доказали, что в любой точке тела имеется элементарный параллелепипед, грани которого подвержены чисто нормальным напряжениям. Кроме того, в теории деформаций (гл. IX, § 302) мы доказали, что в каждой точке тела можно найти параллелепипед, грани которого остаются также прямоугольными и после деформации. В первом случае напряжения на таких гранях назывались «главными напряжениями». Удлинения ребер параллелепипеда во втором случае назывались «главными удлинениями». Очевидно, что в материале, свойства которого не связаны с направлением, направления главных напряжений и главных деформаций должны совпадать. На самом деле ведь нет никаких причин для того, чтобы симметричная система чисто нормальных напряжений вызывала несимметричную деформацию, а деформация была бы несимметричной, если параллелепипед не оставался бы прямоугольным. Следовательно, наиболее общая форма

закона Гука в случае изотропного материала должна связывать три главных напряжения с тремя главными деформациями Таким образом, мы будем иметь три формулы следующего типа:

где — упругле постоянные.

Соображения симметрии вместе со свойством изотропности требуют, чтобы упругие постоянные с были равны. Это, очевидно, потому что направления котарых перпендикулярны можно поменят., между собэй, не меняя величины Теперь формула для имеет вид:

иди эквивалентный ей вид:

аналогично мы можем написать

Через как и в § 117, обозначено объемное расширение, т. е. величина Итак, в изотропных материалах свойства напряжения и деформации определяются двумя упругими постоянными

Эти две упругие постоянные независимы, если нет никакой доподнительцой гипотезы, которая бы их связывала.