Теорема о влиянии связей

87. Доказательство, в общем аналогичное доказательству § 82, дает возможность установить важную теорему о связях, не позволяющих перемещаться отдельным точкам нагруженного тела. Эта теорема была установлена на выпускных экзаменах в Оксфорде в 1939 г. в общих чертах следующим образом.

В двух последовательных опытах исследовалось первоначально ненапряженное тело, материал которого подчинялся закону Гука:

(1) в точках тела, обозначенных прикладывались заданные силы

(2) точки тела, обозначенные получали заданные перемещения

Далее допускалось, что в каждом из опытов действуют связи, препятствующие перемещениям некоторых точек тела, которые обозначались Точки не входили ни в ряд ни в ряд

Требовалось показать, что после введения связей полная упругая энергия запасаемая в теле при условиях опыта (1), или остается неизменной, или уменьшается, а полная упругая энергия, запасаемая в теле при условиях опыта (2), или остается неизменной, или увеличивается.

Составим выражение для полной упругой энергии, запасаемой в теле, предполагая, что тело находится одновременно и в условиях опыта (1) и в условиях опыта (2).

Рассмотрим сначала тот случай, когда связи не действуют. Введем обозначения для перемещений, соответствующих для перемещений точек для сил, соответствующих перемещениям Связи в этой конфигурации отсутствуют, следовательно Полная упругая энергия будет:

Теперь допустим, что связи действуют. Введем обозначения: изменившихся перемещений, соответствующих реакций связей в точках изменившихся сил, соответствующих перемещениям Связи в этой новой конфигурации действуют, следовательно, И полная упругая энергия будет:

Обе системы сил и перемещений соответствуют конфигурации равновесия и, следовательно, согласно принципу суперпозиции, возможна третья конфигурация равновесия, в которой силам соответствуют перемещения

перемещениям соответствуют силы

и перемещениям соответствуют силы

остальные точки не нагружены.

Упругая энергия в этой третьей конфигурации будет:

Вычитая (II) из (I), мы получим

Применив теорему взаимности (§ 12) к первой и второй конфигурациям, мы будем иметь:

(1) Если заданы только силы, действующие в точках но не заданы перемещения в точках то все силы типа равны нулю, и мы из (V) получим:

(2) Если, с другой стороны, заданы только перемещения в точках а все силы нулю, то из (V) мы получим:

Упругая энергия необходимо положительная величина (§ 13). Используя это из (VII), получим, что (заданы только силы), а из (VIII), что (заданы только перемещения). Неравенства превращаются в равенства только при Нами доказано то, что требовалось.