Стержень постоянного поперечного сечения, нагруженный посредине сосредоточенной массой
525. Как пример на второе обобщение метода Рэлея рассмотрим стержень постоянного поперечного сечения, шарнирно закрепленный на концах и нагруженный сосредоточенной массой 
посредине.
Рис. 120.
Условия задачи изображены на рис. 120, где масса 
распределена по короткой, но конечной, а не бесконечно малой длине стержня. Если поперечный прогиб у как раньше определяется формулой (16), то равенство (17) для нашей задачи имеет вид:
где через 
обозначена масса единицы длины стержня, а через 
значение 
в среднем сечении, т. е. там, где приложена масса 
Массу стержня отнесем к системе А (см. § 524), а добавочную массу 
к системе В. После чего формула (2) § 502 даст
Совершенно ясно, что если мы пренебрежем массой стержня 
то кривая прогиба под действием массы 
будет такой же, как кривая прогиба под действием сосредоточенной силы, т. е. она будет иметь форму, показанную под № 3
в таблице стандартных случаев прогибов балок на стр. 249. Таким образом мы сможем найти 
из равенства (57), если примем, что
откуда
Положив 
равным нулю в формуле (57), получим
Воспользовавшись неравенством (56), имеем:
С другой стороны, мы получим завышенное значение для 
если примем, что форма прогиба оси стержня при добавлении массы 
вообще не меняется. Допустив это, подставим в равенство (57) следующую форму прогиба:
Получим оценку
Сравнивая (59) с (60), мы видим, что 
заключено между двумя очень близкими пределами. Даже при 
равном нулю, т. е. при самых широких предположениях, использовав
выражение (60), мы получим ошибку только в 1,57%. Для 
меньше, чем 
для самой частоты.
Пример
9. Получить верхний и нижний пределы для 
в том случае, когда оба конца стержня (рис. 120) заделаны.
