Напряжения от сил притяжения
360. Если массовые силы действуют, то к общему интегралу (43) однородного уравнения нужно добавить частное решение неоднородного уравнения. В этом случае мы так же,
как и раньше, будем иметь, вообще говоря, две произвольные постоянные А к В. (Постоянная будет одна в случае сплошного шара.) Значения этих постоянных определяются из поставленных граничных условий. Рассмотрим частный случай общей задачи, а именно тот, в котором давления по поверхностям не действуют. Решение общей задачи можно будет составить из решения нашего частного случая и решения предыдущего параграфа, учитывающего давления на поверхностях.
Радиальная массовая сила 
может быть любой заданной фуикцией от 
Из теории притяжения известно, что для сплошного шара, деформирующегося вследствие взаимного тяготения частиц (гравитирующего шара) мы имеем:
где а — радиус сферы, 
ускорение силы тяжести на поверхности 
Подставив это выражение в уравнение (41) и опустив в нем, как и раньше, член с ускорением, мы увидим, что оно имеет следующее частное решение:
Если мы решаем задачу для сплошного шара, то 
нужно добавить к интегралу (43), который состоит сейчас из одного члена 
Мы получим:
отсюда
Подставив эти выражения в (42), мы получим
Теперь А нужно выбрать так, чтобы 
обращалось в нуль на поверхности 
Тогда:
361. Отсюда видно, что оба напряжения в каждой точке шара являются сжимающими. Как и следовало ожидать, в центре 
напряжения равны между собой и вызывают давление интенсивности
Если значения 
внутри шара совпадают со значениями 
на его поверхности, то величина 
равна весу столбика материала высоты, равной радиусу шара. Коэффициент 
для стали близок к 
Заметим далее, что если мы определим А из упомянутого граничного условия, то для радиальной деформации получим следующее выражение:
Отсюда видно, что радиальная деформация равна нулю при
Следовательно, если о положительно, а это имеет место для всех известных материалов, то существует определенная поверхность, на которой радиальная деформация отсутствует и вне которой она становится удлинением. Этот результат является, конечно, следствием «эффекта Пуассона» при больших «кольцевых» сжимающих напряжениях.
Задача о полой гравитирующей оболочке имеет меньший практический интерес. Читатель может решить ее в качестве упражнения.
