Замечания по поводу определений «соответствующих» сил и перемещений

28. Остается еще несколько обобщить наши теоремы, дав более широкую интерпретацию понятиям сил и «соответствующих» перемещений.

Если тщательно изучить доказательства этой главы, то можно увидеть, что фактически из свойств перемещения (например, мы использовали только то, что при

возрастании перемещения на бесконечно малую величину сила производит работу, равную произведению на возрастание . Следовательно, должно всегда обозначать перемещение в точке приложения силы и должно быть измерено в направлении действия (в этот момент) силы Наши теоремы приложимы лишь тогда, когда имеет место закон Гука. Таким образом, только закон Гука должен быть верен для определенных нами соответствующих перемещений.

Когда перемещения достигают конечной величины, точки приложения сил двигаются по мере возрастания деформации (в общем) по кривым. И ясно, что закон Гука не может сохраняться по отношению ко всем составляющим какого-нибудь одного перемещения (ср. § 21). Сохраняется ли он действительно в отношении «соответствующей» составляющей, является вопросом, на который путем эксперимента очень трудно ответить, так как необходимы в высшей степени точные измерения. Но в действительности границы упругой деформации столь узки, что едва ли необходимо такое уточнение. Нужно только (как и выше) установить, какие предположения были использованы при наших доказательствах, и помнить, что в практике перемещения почти всегда очень малы.

Мы занимались пока только сосредоточенными силами, но, очевидно, что мы можем (по крайней мере с точностью, достаточной для практических целей) заменить распределенное растягивающее или сжимающее напряжение, действующее на очень маленькой площадке, его результирующей. Следовательно, мы можем считать, что в некоторой точке нашей площадки действует сосредоточенная сила. Таким образом, область применимости наших теорем расширена так, что она включает распределенную нагрузку.

Во всех наших доказательствах мы принимали, что приложенные силы образуют систему, находящуюся в равновесии. Отсюда ясно, что перемещения тела как «абсолютно твердого» (перемещения, которые не вызывают деформации) не оказывают влияния на полную упругую энергию. Рассмотрим, например, поступательное движение тела как абсолютно твердого в каком-нибудь данном направлении. Разлагая каждую из приложенных сил на направление движения и ему

перпендикулярное, мы получим уравновешенную систему сил действующих в направлении движения, вместе со второй уравновешенной системой действующей в направлении, перпендикулярном последнему. Силы второй системы не производят работы, когда происходит поступательное движение тела, так как нет ни одного, отличного от нуля перемещения, «соответствующего» какой-нибудь из них. Работа, совершенная силами первой системы, очевидно, измеряется произведением вызываемого ими перемещения на их результирующую, которая равна нулю, так как система сил уравновешенная. Отсюда следует, что работа первой системы сил тоже обращается в нуль. Итак, наложение поступательного движения тела как абсолютно твердого не изменяет выражения (11) полной упругой энергии. Аналогичное доказательство может показать, что вращательное движение тела как абсолютно твердого также не окажет влияния на полную упругую энергию деформации.

Читатель может встретить затруднение, когда попытается понять, почему в рассуждениях этой главы мы постулируем равновесие упругого тела, но не учитываем реакний опор. Причина этого заключается в том, что рассматриваются неподвижные опоры, и, следовательно, их реакции не производят работы. Как было показано, движения тела как абсолютно твердого не влияют на упругую энергию, а отсюда мы имеем некоторую свободу в выборе точек, рассматриваемых как опоры. Так, можно закрепить какую-нибудь одну точку А, другую точку В поместить на какой-нибудь неподвижной прямой а какую-нибудь третью точку взять на неподвижной плоскости, содержащей Это и будут условия закрепления тела.

29. Рассмотрим простейший случай. Пусть в двух точках упругого тела действуют две равные и противоположные силы, направленные по прямой Вращение тела как абсолютно твердого не вызовет изменения полной упругой энергии. В самом деле, при вращении тела точки А к В совершают перемещения перпендикулярные силам и, следовательно, не имеют составляющих, «соответствующих» силам. Поступательное движение тела как абсолютно твердого в направлении также не скажется, потому что добавочная

работа, совершаемая одной из сил, будет нейтрализоваться работой, затрачиваемой на преодоление другой.

Упругая энергия деформации запасается двумя силами только тогда, когда расстояние изменяется. Если действуют растягивающие силы величины и если мы обозначим полное удлинение через то работа, совершаемая на каком-нибудь малом перемещении, измеряется произведением:

Следовательно, мы можем рассматривать как перемещение, «соответствующее» силе растяжения Очевидно, что все выводы и заключения этой главы останутся в силе, если (или какая-нибудь другая «сила» и «соответлтву-ющее» перемещение) будут интерпретироваться нами как сила растяжения и «соответствующее» ей удлинение.

Рис. 8.

Рассмотрим теперь влияние поворота тела как абсолютно твердого на работу, совершаемую двумя равными и противоположно направленными силами (рис. 8), образующими пару с моментом Пусть точки их приложения — удалены друг от друга на расстояние Если мы разложим каждую из сил на составляющие действующие соответственно по направлению и перпендикулярно ему, то малый поворот прямой не дает (как мы только что видели) перемещений, «соответствующих» силам Обе силы (как установлено выше) могут тогда рассматриваться как растягивающее усилие. Но поворот даст перемещения, соответствующие силам Сумма этих перемещений, очевидно, всегда измеряется величиной Поэтому работа, совершаемая двумя силами вследствие поворота О равна произведению а вместе с тем

так как момент пары очевидно, измеряется произведением на

Из (I) следует, что две силы могут рассматриваться вместе как пара с моментом а поворот 6 прямой, соединяющей точки их приложения, как перемещение, «соответствующее» паре. При действии двух или большего числа пар, каждая из которых по условию вызывает один и тот же поворот в, мы, согласно (I), можем принять их результирующий момент за обобщенную силу, а «соответствующее» ему перемещение. Однако следует подчеркнуть, что таким образом могут рассматриваться только те силы, направления которых перпендикулярны прямой, соединяющей точки их приложения.

Итак, силы величины на рис. 8 образуют чистую пару с моментом но их составляющие (по должны рассматриваться отдельно, так как при деформации, выражающейся в удлинении силы производят работу и, следовательно, дают приращение упругой энергии деформации.

Выводы последнего параграфа весьма важны, потому что часто приходится сталкиваться с необходимостью рассматривать моменты, действующие на упругое тело со стороны другого тела, которое можно считать абсолютно твердым (например, гаечный ключ или какая-нибудь другая связь, препятствующая вращению). В таких случаях известна только величина результирующего момента а не сами силы, однако теперь это не вызовет затруднений, потому что и связанный с ним поворот 6 могут рассматриваться как специальный тип силы и «соответствующего» перемещения.

30. Как было установлено ранее (§ 28), относительно сил и перемещений (например мы ничего не предполагаем, кроме того, что при возрастании , на бесконечно малую величину, производит некоторую работу, которая измеряется произведением на приращение Это замечание также справедливо для и связанного с ним поворота . Отсюда следует, что ни одно из наших заключений не нужно пересматривать, когда (или какая-нибудь другая «сила» и «соответствующее пережшние») интерпретируются нами как момент и «соответствующий» ему поворот.

Аналогично при изгибе или кручении стержня моментами, приложенными на концах, мы имеем изгибающее или крутящее усилие, производящееся двумя равными и противоположными моментами. И так же, как в § 29, где мы видели, что «растягивающее усилие» может рассматриваться как обобщенный тип «сил», а получающееся удлинение — как «соответствующее ему перемещение», мы можем сейчас рассматривать изгибающее и крутящее усилия как обобщенные силы, если в качестве соответствующих каждому из них перемещений мы возьмем относительный поворот фиксированных прямых, лежащих в плоскостях действия моментов, составляющих усилие.