Упругая энергия сдвига

228. В § 226 мы уже указали, что наше исследование касательного напряжения в изогнутой балке неполно. Там мы рассматривали (за исключением одного частного случая) только вертикальный компонент напряжения. С практической точки зрения мы менее заинтересованы в определении (результирующей перерезывающей силы), чем в определении сопровождающей ее деформации. Эта деформация является «прогибом вследствие перерезывающей силы», который, очевидно, добавляется к прогибу от действия момента, рассмотренному в главе VI. Мы не сможем вычислить величину этого прогиба, если не будем знать действительного значения касательного напряжения в каждой точке поперечного сечения. Справедливость последнего утверждения можно установить, проведя вычисления для того случая, в котором нам точно известно касательное напряжение.

Пусть является относительным перемещением противоположных сторон элемента, изображенного на рис. 73 (это перемещение получается от перерезывающей силы и имеет направление «соответствующее» в смысле главы I, § 28). Тогда работа, совершенная измеряется величиной

Это выражение можно приравнять полной упругой энергии, запасенной элементом. Таким образом, из (15) главы IV мы получаем:

или

где результирующее касательное напряжение на элементе поперечного сечения, вызванное действием Для дальнейших преобразований мы должны выразить как функцию точки поперечного сечения. Используя предыдущие исследования, мы можем это сделать только в случае прямоугольного поперечного сечения. Обозначив ширину

поперечного сечения через а его высоту через мы из (7) и (8) получим:

Выражение (I) приобретает вид:

и мы найдем, что

Полная упругая энергия, запасенная касательным напряжением на единицу длины балки, будет:

229. К счастью, в большинстве задач, имеющих практическое значение, упругая энергия сдвига мала по сравнению с упругой энергией изгиба, а для последней мы имеем весьма удобное выражение, применимое к поперечным сечениям любой формы. В технике при расчетах обычно пренебрегают «прогибом вспедствие перерезывающей силы», а касательное напряжение в тех случаях, когда его вообще следует рассматривать, оценивают по формуле (6). Оценка, конечно, грубая, но отклонение от действительного значения напряжения можно перекрыть коэффициентом безопасности (§ 149).

Пример

2. (Camb. М. S. Т. 1931.) Двутавровое сечение балки имеет следующие размеры:

стенка: высота площадь поперечного сечения А. каждая полка: ширина площадь поперечного сечения

Балка лежит горизонтально и так, что стенка ее вертикальна. На балку действуют вертикальные силы. В сечении, свободном от

нагрузки, результирующая касательных напряжений по площади поперечного сечения является вертикальной силой Предпотагая, что в поперечном сечении касательное напряжение в полке горизонтально, показать, что упругая энергия вследствие перерезывающей силы полках элемента длины балки приблизительно равна

и что энергия сдвига, запасенная стенке, будет

где соответствующий момент инерции площади поперечного сечения и С — модуль сдвига.

[Взять высоту стенки как полную высоту двутаврового сечения и считать, что каждая полка составлена из двух частей (ширины ) прикрепленных к стенке. Получить данные выражения, приняв толщины стенок и полок малыми по сравнению с