ГЛАВА XIV. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) И ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ

502. В § 209 главы VI мы вывели уравнение, определяющее «критические скорости» вала, а в § 211 той же главы мы показали, что уравнение такого же типа определяет прогиб оси вала в случае свободных поперечных колебаний «нормальной формы». Если вал вращается при критической скорости, то он подвергается действию поперечной силы инерции, интенсивность которой

Если вал вибрирует, то нагрузка, вызванная силами инерции, равна

при где зависит только от х. Подставив в уравнение (6) главы VI, мы получим следующие основные уравнения:

для случая вращающегося при критической скорости вала,

для случая поперечных колебаний.

Здесь — угловая скорость вращения изогнутого вала вокруг оси период одного полного нормального колебания, масса единицы длины вала и жесткости при изгибе,

В §§ 213—218 той же главы мы получили решения уравнений (1) для валов постоянного поперечного сечения и В постоянные) при различных случаях закрепления в опорах. В каждом случае мы нашли ряд «критических скоростей» или «собственных частот» Если или принимают значения, принадлежащие этим рядам, то им соответствует некоторая частная (нормальная) форма колебаний. Например, если оба конца вала постоянного поперечного сечения шарнирно закреплены, то критическая скорость, или частота будет

а соответствующая форма нормального колебания

где любое целое число, а произвольная постоянная. Если величины или не принадлежат к ряду собственных частот или критических значений скорости, то уравнение (1) имеет единственное нулевое решение, и вал имеет прямолинейную форму Если зависят от X, то ряд критических скоростей и нормальных колебаний также существует, но их, вообще говоря, нельзя отыскать с помощью точного интегрирования уравнений (1). Однако достаточно точно и без больнюго труда можно оценить первые члены рядов или с помощью метода Рэлея, что мы теперь и покажем.