Круговая диаграмма Мора

280. В практике очень ценен метод изображения напряженного состояния, предложенный Мором. Объясним этот метод на примере напряженного состояния, в котором главные напряжения направлены по осям так что

Формулы (9) и (8) для преобразования компонентов напряжения в этом случае имеют вид:

Рис. 92.

Рассмотрим сначала плоское напряженное состояние, т. е. в равенствах (13) положим Тогда, так как

мы для напряжения на плоскости, наклоненной к но параллельной имеем:

Эти формулы в частном случае, при равном нулю, совпадают с формулами (21) § 130 главы IV.

Из начала О (рис. 92) проведем горизонтально О А, представляющее откладываем направо от О, когда положительно. Пусть при соблюдении того же условия, представляет На как на диаметре построим полуокружность Пусть С будет центром полуокружности; проведем радиус составляющий угол 26 с

Тогда, очевидно, что

с лежит направо от О, когда величина, стоящая в правой части (I), положительна. Также

Отсюда, если через обозначить перпендикуляр, опущенный из точки на мы получим:

Предыдущее построение известно под названием круговой диаграммы Мора. Диаграмма сразу показывает, какое касательное напряжение связано с данным нормальным напряжением, и наоборот (с этой точки зрения знак касательного напряжения не имеет значения). На рис. 92 слева полуокружность проведена в случае двух положительных главных напряжений. Мы видим, что в этих случаях нормальные составляющие напряжения положительны на всех плоскостях. На рис. 92 справа полуокружность проведена для частного случая, в котором положительно, а отрицательно и, кроме того, (ср. гл. IV § 119). Центр полуокружности, очевидно, совпадет с точкой О.

281. Третье главное напряжение не влияет на напряжения на плоскостях, параллельных потому что для них в равенствах (13) равно нулю. Отсюда следует, что полуокружность соответствует нормальным и касательным напряжениям на плоскостях, параллельных направлению

Аналогично, если (рис. 92) представляет собой то точки на полуокружности, имеющей в качестве диаметра, будут соответствовать нормальному и касательному компонентам напряжения на всех плоскостях, параллельных направлению Точки на полуокружности, имеющей в качестве диаметра, соответствуют нормальным и касательным компонентам напряжения на всех плоскостях, параллельных направлению

На плоскостях, наклоненных ко всем трем главным плоскостям, напряжения, в общем случае, будут зависеть от всех трех величин Но если на рис. 92 изображают нормальное и касательное напряжение на какой-нибудь плоскости, то мы можем доказать, что будет всегда лежать в заштрихованной области. Таким образом, прямо из диаграммы можно получить ответы на вопросы, возникающие в теории прочности материалов.

282. Доказательство можно провести следующим образом: пусть через обозначено результирующее напряжение на плоскости, перпендикулярной какому-нибудь заданному направлению Мы имеем

Если имеют направления главных напряжений, т. е.

то из (7) мы получим, что

где являются направляющими косинусами упомянутой плоскости. Если через обозначить результирующее касательное напряжение на этой плоскости (нормальное напряжение на ней то мы имеем:

Следовательно, если задано, то можно вычислить из выражения

Пусть на рис. 92 изображают пусть величины главных напряжений подчинены следующим неравенствам диаграммы мы имеем:

Подставив из (13) и использовав соотношение

мы получим:

Отсюда следует, что т. е. лежит на или вне полуокружности

Точно таким путем, если центр полуокружности (см. рис. 92), то мы найдем, что

откуда следует, что лежит на или вне полуокружности Если центр полуокружности то мы имеем:

это показывает, что лежит на или внутри полуокружности Собрав все вместе, мы видим, что должно лежать внутри заштрихованной области рисунка 92.