Однородный цилиндр под действием собственного веса
346. Займемся теми членами выражения (8), в которые входит 
Рассмотрим решение
Уравнение (7) принимает форму:
Проинтегрировав его по всей площади поперечного сечения, получим:
Последнее равенство имеет место согласно преобразованию Грина (криволинейный интеграл берется по контуру поперечного сечения). Подинтегральная функция в правой части, согласно условию (13), равна нулю на контуре поперечного сечения, так как боковая поверхность цилиндра свободна от нагрузки. Из полученного соотношения мы видим, что С должно обращаться в нуль.
347. Однако решению 
можно дать физическое толкование, если в третье из уравнений (1), а следовательно, и в (5) включить член, соответствующий массовой силе 
В результате этого в левых частях (7) и (22) появится добавочный член Постоянная С больше не будет обращаться в нуль; для нее мы получим выражение:
откуда
Согласно главе VIII, § 285, буквы 
употребляются для обозначения компонентов массовых сил, которые определяют проекции ускорения, испытываемого телом при действии на него одних этих сил. Поэтому, если компонент массовой силы 
обязан своим происхождением силе тяжести и если
ось 
направлена вверх, то мы можем заменить 
через 
Тогда мы получим решение, в котором
так что
Очевидно, что полученное решение соответствует случаю цилиндра, подвешенного вертикально и подверженного действию собственного веса. Легко проверить, что смещения будут:
(Члены, характеризующие перемещение тела как абсолютно твердого, не написаны.)
