ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ НАПРЯЖЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ
430. Если замкнутое круговое кольцо (или труба) деформируются под действием равномерного давления, приложенного к его цилиндрическим поверхностям, то очевидно, что возникающие при этом напряжения не будут зависеть от угла 6. И вновь можно использовать типовое рещенне (45). В качестве граничных условий мы теперь имеем заданные значения компонента напряжения 
на двух окружностях радиусов 
Компонент 
равен нулю всюду, и поэтому имеется только два граничных условия. Отсюда следует, что мы, по-видимому, получим только два соотнощения между тремя неизвестными постоянными 
В связи с этим заметим, что типовое рещенне (45) включает в себя все те случаи, в которых напряжения не зависят от угла 6, а поэтому включает случай, когда рассматриваемое нами замкнутое кольцо (или труба) имеет начальные напряжения. Если мы имеем незамкнутое кольцо, то приложив к его концевым сечениям изгибающие моменты так, как это рассматривалось в § 429, мы можем привести их в соприкосновение и соединить вместе (см. гл. V, § 164). Удалив затем действующие внешние силы, мы получим замкнутое круговое кольцо с начальными напряжениями. Это напряженное состояние и является тем, которое было найдено в предшествующем параграфе.
Если мы хотим исследовать тела без начальных напряжений, то в выражениях (45) мы должны положить 
Это можно доказать с помощью «второй теоремы о минимуме упругой энергии» (гл. III, § 89) следующим образом: выберем сначала постоянные 
и так, чтобы компонент 
удовлетворял граничным условиям. Далее потребуем, чтобы полная упругая энергия была минимальной. Из граничных условий для постоянных 
и получим выражения, в которые наряду с известными членами войдут члены с 
равенства нулю которого и потребует условие минимума упругой энергии.
431. Решение задач можно получить проще, если мы будем исходить из основных зависимостей и начинать со смещений (смещения благодаря симметрии системы лежат в радиальных плоскостях). Будем рассматривать случай плоской деформации.
Решение, соответствующее случаю плоского напряженного состояния, можно будет потом легко получить, так как необходимые в каждом частном случае добавочные члены можно вычислить методами § 417. Итак, имеем упругое тело в виде кругового цилиндра (или трубы) и пусть деформация обладает следующими свойствами:
(а) плоские поперечные сечення недеформированного цилиндра или трубы остаются плоскими в деформированном состоянии;
(Ь) продольная деформация (т. е. удлинение в направлении оси) имеет одну и ту же величину в каждой точке тела;
(с) каждое поперечное сечение в своей плоскости подвергается одной и той же деформации;
(d) деформация по своему характеру является чисто радиальным смещением. Все те точки, которые первоначально принадлежали окружности радиуса 
после деформации располагаются на окружности постоянного радиуса 
