Применение теоремы энергии к задаче о продольном изгибе стержня постоянного поперечного сечения

480. Интересно рассмотреть задачу иначе, а именно, с точки зрения теоремы энергии. Умножим левую часть уравнения затем проинтегрируем его по всей длине стержня.

Таким путем мы получим:

Проинтегрировав по частям, имеем

Последнее равенство имеет место в силу того, что или у или обращаются в нуль на концах стержня.

Вторая производная в пределах точности уравнения (1), определяет кривизну деформированной оси стержня, следовательно, выражение в левой части (32) является мерой упругой энергии, запасенной в стержне вследствие возникшего прогиба. Концы стержня при изгибе сближаются на величину:

Теперь видно, что величина, стоящая в правой части (32) с точностью до членов второго порядка относительно у, равна уменьшению, вследствие изгиба, потенциальной энергии двух внешних сил вызывающих сжатие стержня. Таким образом, уравнение (32) устанавливает следующее равенство:

Оно показывает, что полная потенциальная энергия системы при изгибе не изменяется. Этот результат представляет собой частный пример общей теоремы механики, указанной в § 19 главы Теорема гласит, что полная потенциальная энергия любой механической системы имеет стационарное значение, когда эта система находится в конфигурации равновесия.

481. В предыдущем параграфе мы предполагали, что осевая сила сжатия во все время деформации постоянна и что концы стержня могут свободно приближаться друг к другу. Допустим другое. Пусть во время нагружения боковой прогиб стержня происходить не может. Когда же сила сжатия достигает определенной величины мы удаляем боковые связи, но концы стержня оставляем неподвижными. Тогда

расстояние между концами стержня все время равняется а длина изогнутой оси стержня, если он после удаления боковых связей изогнется, с точностью уравнения (I) будет:

Отсюда видно, что при изгибе произойдет удлинение оси стержня. Величина этого относительного удлинения:

Если через обозначить относительное сжатие стержня в то время, когда он был прямолинейным, то полное относительное сжатие будет равно:

Действующая сила пропорциональна величине вызываемого ею относительного удлинения. Поэтому мы можем сказать, что сила сжатия, действующая на стержень после удаления боковых связей, уменьшается в отношении Отсюда следует, что упругая энергия сжатия, будучи пропорциональна произведению силы сжатия на удлинение, уменьшается от величины до величины Разность этих значений, согласно формуле (III), при принятой нами степени точности равна:

Равенство (32) теперь может быть истолковано так:

(Количество упругой энергии, запасенное при изгибе) (уменьшению количества упругой энергии, запасенной при сжатии).

Таким образом оно опять может служить частным примером общей теоремы механики.