Дальнейшее обобщение метода Рэлея

524. В § 519 мы видели, что можно найти верхний и нижний пределы для основной частоты в том случае, когда восстанавливающие силы можно разбить на две системы сил

таким образом, что для каждой из этих систем, действующих по отдельности, основное уравнение разрешимо.

Теперь мы покажем, что верхний и нижний пределы для можно найти также тогда, когда подобное разделение возможно провести для масс.

Доказательство совершенно аналогично предыдущему. Для всех случаев уравнение частот имеет форму (17), т. е. выражение для имеет вид

где интеграл, выражающий упругую энергию системы, интеграл, зависящий от ее масс.

Это выражение дает точное значение для когда в него подставлена точная форма прогиба.

Если массы можно разделить на две системы А к В, то мы можем написать, что

и, согласно (53), мы получим

Если через обозначить основные частоты соответственно для системы А и для системы В, которые, по предположению, можно вычислить, то, согласно методу Рэлея, мы имеем

Поэтому равенство (54) можно написать в следующей форме:

Это неравенство соответствует неравенству (40) § 519. Оно определяет верхний предел т. е. нижний предел Верхний предел как и раньше, можно получить,

подставив в общее выражение (53) некоторую подходящим образом выбранную форму прогиба. Итак, опять могут быть найдены оба предела.