Свободные поперечные колебания упругой нити, подверженной действию растягивающих сил

511. Для иллюстрации метода Рэлея рассмотрим очень простую задачу, а именно, задачу о свободных колебаниях нормальной формы абсолютно гибкой нити. Восстанавливающие силы возникают только от натяжения нити. Мы обозначим натяжение через массу единицы длины через а через у (малый) прогиб.

Рис. 119.

Из рис. 119 видно, что на элемент длины нити в сечении х в результате натяжения нити действует поперечная сила величины и направления На другом конце элемента длины (т. е. в сечении поперечная сила действует в противоположном направлении Разность этих сил действует по направлению и с точностью до величины первого порядка малости относительно равна

Элемент получает в результате действия этой разности сил ускорение

Масса элемента равна Таким образом, уравнение свободных колебаний записывается так:

Если мы рассматриваем нормальные колебания, т. е.

то из уравнения (19) получим уравнение, определяющее а именно:

512. Если постоянны, то уравнение (20) можно записать следующим образом:

где

С уравнением такого типа мы уже встречались в главе VI, когда рассматривали стержни постоянной жесткости при изгибе. Решение уравнения (21), обращающееся в нуль, при имеет вид

Для определения соответствующей частоты из (22) имеем

где целое число. Таким образом, собственные частоты колебаний нити будут

513. Уравнение энергии (18) в этой задаче имеет место, и так же, как в § 509, полная кинетическая энергия равна

потому что для у мы имеем формулу (16).

Для того чтобы вычислить возрастание упругой энергии вследствие прогиба, мы можем поступить так же, как в § 481 главы XIII. Там мы рассматривали упругую энергию стержня, подверженного осевым сжимающим силам Р, когда боковой прогиб не допускался, и показали, что количество запасенной при сжатии упругой энергии после того, как мы дадим оси стержня прогнуться, ужньшится на величину

в нашей задаче вместо сжимающей силы действует сила растяжения Кроме того, мы можем допустить, что меняется вдоль нити. Несмотря на это, доказательство, аналогичное доказательству § 481, покажет, что возникший прогиб вызовет возрастание упругой энергии растяжения на величину

которая, когда у определяется формулой (16), равна

Подставив (I) и в (18), мы, как и в § 509, получим

Следовательно, частоты в нашей задаче определяются из следующего соотношения:

Легко проверить, что при постоянных соотношение (25) даст точный результат (23), если в него вместо подставить точное выражение (3).