Масса элемента равна
Таким образом, уравнение свободных колебаний записывается так:
Если мы рассматриваем нормальные колебания, т. е.
то из уравнения (19) получим уравнение, определяющее
а именно:
512. Если
постоянны, то уравнение (20) можно записать следующим образом:
где
С уравнением такого типа мы уже встречались в главе VI, когда рассматривали стержни постоянной жесткости при изгибе. Решение уравнения (21), обращающееся в нуль, при
имеет вид
Для определения соответствующей частоты
из (22) имеем
где
целое число. Таким образом, собственные частоты колебаний нити будут
513. Уравнение энергии (18) в этой задаче имеет место, и так же, как в § 509, полная кинетическая энергия равна
потому что для у мы имеем формулу (16).
Для того чтобы вычислить возрастание упругой энергии вследствие прогиба, мы можем поступить так же, как в § 481 главы XIII. Там мы рассматривали упругую энергию стержня, подверженного осевым сжимающим силам Р, когда боковой прогиб не допускался, и показали, что количество запасенной при сжатии упругой энергии после того, как мы дадим оси стержня прогнуться, ужньшится на величину
в нашей задаче вместо сжимающей силы
действует сила растяжения
Кроме того, мы можем допустить, что
меняется вдоль нити. Несмотря на это, доказательство, аналогичное доказательству § 481, покажет, что возникший прогиб вызовет возрастание упругой энергии растяжения на величину
которая, когда у определяется формулой (16), равна
Подставив (I) и
в (18), мы, как и в § 509, получим
Следовательно, частоты в нашей задаче определяются из следующего соотношения:
Легко проверить, что при постоянных
соотношение (25) даст точный результат (23), если в него вместо
подставить точное выражение (3).