Косой изгиб

172. На рис. 53, как и раньше, являются главными осями инерции площади поперечного сечения. Плоскость приложенного момента наклонена, как показано на рисунке, к осям Через обозначим угол между и направлением Теперь мы можем разложить на момент величины лежащий в плоскости, содержащей и направленный параллельно и момент величины лежащий в плоскости, содержащей и направленный противоположно Согласно принципу суперпозиции, действия этих двух составляющих моментов можно исследовать отдельно и сложить полученные результаты. Предыдущая теория применима, так как плоскость действия каждого момента содержит главную ось инерции поперечного сечения.

Рис. 53,

Рассматривая в поперечном сечении точку с координатами и по отношению к осям мы из формулы (17) получим, что первый составляющий момент вызывает напряжение величины

а второй — напряжение величины

где через обозначены моменты инерции площади поперечного сечения соответственно около осей

Следовательно, оба момента, действуя вместе (т. е. первоначальный момент), вызовут напряжение, равное сумме:

Эта сумма обращается в нуль, когда

Таким образом, для приложенного момента соотношение (20) является уравнением нейтральной оси (§ 167). Эта ось. не будет (вообще) перпендикулярна плоскости

173. Ее положение относительно плоскости будет выяснено, если мы рассмотрим уравнение центрального эллипса инерции поперечного сечения):

Прямая, изображающая на рис. 53 след плоскости имеет уравнение

и пересекает центральный эллипс инерции в точке с координатами удовлетворяющими и (I) и (II). Уравнение касательной к эллипсу в точке

Прямая, параллельная ей и проходящая через будет иметь уравнение

Уравнение (III) эквивалентно (20), т. е. уравнению нейтральной оси, так как удовлетворяют (II). И теперь мы видим, что нейтральная ось параллельна касательной к центральному эллипсу инерции поперечного сечения в той точке, в которой эллипс пересекается плоскостью т. е. нейтральная ось и след плоскости являются сопряженными диаметрами эллипса инерции поперечного сечения.

Рис. 54.

Для того чтобы изгиб мог произойти в плоскости приложенного момента, нейтральная ось [параллельная (рис. 50) оси изгиба] должна быть перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, упомянутые сопряженные диаметры должны быть перпендикулярны, т. е. они должны быть главными осями эллипса инерции. Этот результат подтверждает вывод § 169.

174. Пусть (рис. 54) будут главными осями инерции поперечного сечения. Рассмотрим влияние наложения продольного усилия, результирующая которого равна и действует по прямой, проходящей через точку Как и в § 171, легко показать, что усилие эквивалентно силе растяжения действующей в вместе с изгибающими моментами действующими соответственно в плоскостях, содержащих Отсюда напряжение в точке поперечного сечения дается формулой

а уравнение нейтральной оси (или линии нулевого напряжения) будет:

Пусть теперь точка движется по фиксированной прямой (рис. 54). Тогда можно показать, что нейтральная ось будет всегда проходить через фиксированную точку. Ибо, каково бы ни было положение на мы можем написать, что

где Подставив в (I), мы получим уравнение

которое, если мы положим

удовлетворяется для всех значений Следовательно, нейтральная ось всегда проходит через точку Важность этого замечания иллюстрируется на первых двух задачах, приводимых ниже. Заметим, что в цементе, извести и других связывающих материалах, употребляемых в строительном деле, легко возникают трещины, и поэтому они не могут сопротивляться растяжению. Следовательно, в целях безопасности нужно, чтобы в каменных постройках, как, например, башнях или трубах, напряжение в каждой точке горизонтального поперечного сечения было бы сжимающим. Другими словами, нейтральная ось должна всегда проходить вне поперечного сечения.

Примеры

15. (Camb. М. S. Т. 1932.) Колонна удерживает груз, линия действия которого перпендикулярна ее поперечному сечению и пересекает его в точке

Сечение колонны — равносторонний треугольник со стороной а. Показать, что нагрузка не будет вызывать растяжения тогда, когда точка находится внутри равностороннего треугольника со стороной а.

[Площадь попергчного сечения выражается формулой

Соображения симметрии показывают, что эллипс инерции должен быть кругом. Мы легко найдем, что

Для того чтобы нейтральная ось могла лежать на стороне треугольника, нагрузка должна действовать в точке, расположенной между центром тяжести и противоположной вершиной на расстоянии не большем чем центра тяжести, где х определяется соотношением

Таким образом, три предельных положения груза образуют вершины второго равностороннего треугольника. Они отстоят от центра тяжести сечения на расстоянии, равном

т. е. они лежат в вершинах равностороннего треугольника со стороной Теорема § 174 показывает, что когда груз движется по стороне этого меньшего треугольника, нейтральная ось поворачивается около вершины треугольника, являющегося поперечным сечением.]

16. (Camb. М. S. Т. 1930.) На рисунке изображено поперечное сечение вертикальной каменной трубы.

Показать, что кладка не подвергается растягивающему напряжению, если результирующая вертикальная сила давления по сечению находится внутри квадрата, который на рисунке обозначен буквами

Показать, что длина диагонали этого квадрата равна приблизительно 142,3 см. Показать также, что по мере того как точка приложения силы сжатия вдоль линии проходит от точки к точке нейтральная ось сечения поворачивается против часовой стрелки около из положения в положение

17. (Oxford F. E. E. S. 1933.) Балка из прокатного углового железа лежит на двух опорах, причем стороны угла лежат в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Известны следующие геометрические данные сечения:

Размеры: см.

Центр тяжести находится на расстоянии 4,71 см от какой-нибудь из внешних сторон.

Главные моменты инерции: Вычислить напряжения, вызванные в трех внешних углах сечения изгибающим моментом в действующим в вертикальной плоскости. [746, 133,9 — 709 кг/см.]

(Соображения симметрии показывают, что главные оси поперечного сечения наклонены под углом 45° к сторонам.)