Вынужденные колебания балки постоянного поперечного сечения с шарнирно опертыми концами
535. В § 502 этой главы мы показали, что балка, испытывающая поперечные колебания, подвергается действию нагрузки от сил инерции интенсивности
Следовательно, если помимо того приложена еще нагрузка интенсивности 
изменяющейся со временем, то прогиб будет определяться из уравнения
которое, при постоянных В к 
можно записать следующим образом:
536. Предположим, что 
имеет форму
где 
постоянно, и предположим, что уравнение (76) имеет решение вида
где 
постоянная. Подставив (77) и (78) в (76), мы найдем, что наше предположение оправдается тогда, когда
когда
Соотношение
показывает характер 
формы нормальных свободных поперечных колебаний нашей системы.
Собственная частота 
как показано в § 214 главы VI, определяется равенством
Это можно также получить, решив уравнение (I) с опущенной правой частью. Таким образом, выражение (II) можно записать в следующем 
Это одно из частных решений уравнения (76).
Общее решение однородного уравнения имеет форму (78), в которой амплитуда и фаза произвольны, а частота заменена на 
Выбирая произвольные постоянные так, чтобы 
обращались в нуль при 
мы, наконец, получим:
Такой прогиб будет вызван действием поперечной нагрузки типа (77), начинающей действовать в момент 
537. При 
выражение (79) становится неопределенным. Положим:
где 
очень мало. Из (79) с точностью до членов первого порядка малости относительно 
получим 
Откуда при 
стремящемся к нулю, в случае действия нагрузки специального вида (резонирующей с собственной частотой балки) имеем
638. Какова бы ни была форма приложенной нагрузки, зависящей от 
и мы всегда можем выразить ее в виде ряда по тригонометрическим функциям.
Согласно принципу суперпозиции, каждый из членов этого ряда будет давать независимо от других членов ряда прогиб, определяемый формулой типа (79). Таким образом, полный прогиб теоретически может быть вычислен.
В знаменателе (79) стоит разность 
а это показывает, что если частота приложенной нагрузки меньше, чем основная собственная частота балки, то прогиб, возникающий от члена
будет доминирующим в полном выражении для прогиба. Итак, мы указали путь приближенного исследования, в котором и нагрузка и прогибы выражаются рядами по собственным функциям, а внимание сосредоточивается на собственной функции, соответствующей колебанию основного тона.
