Соотношения между функциями напряжений для плоской деформации и для плоского напряженного состояния

417. Мы решали задачу как пример плоской деформации и для того, чтобы закончить решение, нам надо определить отличный от нуля компонент напряжения В действительности,

в силу того, что боковые стороны балки свободны от напряжений, мы должны рассматривать задачу как пример плоского напряженного состояния. Согласно результатам §§ 403—406, мы должны изменить решение (27) и добавить в него члены, зависящие от Метод, которым мы ниже пользуемся, может быть применен к любой подобной задаче.

Пусть X представляет собой функцию напряжений, полученную из формул, соответствующих плоской деформации, а связана с X с помощью соотнопшния:

Отсюда, согласно уравнению (23), имеем:

Подставив это выражение для в (24), мы получим как функцию напряжений, соответствующую плоскому напряженному состоянию, следующее выражение:

Первый член (X) даст те же, что и раньше, выражения для компонентов напряжения, а член, содержащий введет добавочные члены, которые не будут влиять на средние значения компонентов напряжения по толишне пластинки, потому что

В рассматриваемой задаче X дается соотношением (28), откуда:

Следовательно, в формулы для компонентов напряжения нужно добавить соответственно такие члены:

Примеры

1. Применить тот же метод к задаче о постоянной перерезывающей силе и показать, что написанная ниже функция напряжений удовлетворяет всем граничным условиям, которые можно выписать, воспользовавшись приложенным рисунком. Перерезывающая сила распределена так, как того требует решение

2. (Camb. М. S. Т. 1933.) Треугольная пластинка постоянной толщины заделана так, как показано на рисунке. На верхний горизонтальный край пластинки действует равномерно распределенная нормальная нагрузка интенсивности на единицу площади. Проверить, что написанное ниже выражение представляет собой функцию напряжений, удовлетворяющую граничным условиям на краях и пластинки:

Для частного значения угла найти распределение нормального напряжения по вертикальному поперечному сечению и выяснить, чем оно отличается от напряжения, определенного по формуле