Круглая пластинка с заделанным краем
243. Уравнение (40) запишем в виде:
Уравнение (41) удовлетворяется решением каждого из уравнений
Если мы будем рассматривать только те колебания, в которых 
не зависит от 8, то первое из уравнений (42) можно записать в форме
Решение этого уравнения:
где А и В — произвольные постоянные, 
функции Бесселя нулевого порядка.
Таким же образом для второго уравнения (42) мы получим решение:
Причем здесь использованы обозначения функций Бесселя, а через 
обозначены произвольные постоянные.
Вторые члены в первом и втором решениях, т. е. 
принимают бесконечные значения при 
Следовательно, они должны отсутствовать и мы имеем в случае сплошной круглой пластинки следующее общее решение уравнения (41)
244. Если
обозначить через 
то, продиференцировав (44), мы получим:
Если край пластинки заделан, то мы имеем два следующих граничных условия:
Воспользовавшись граничными условиями, мы получим:
Последнее равенство имеет место в силу того, что функции Бссселя удовлетворяют соотношениям 
Уравнение (47) нашей задачи является уравнением частот. Значение 
удовлетворяющее этому уравнению, можно найти графически, вычертив с помощью таблиц функций Бесселя как функции переменного 
выражения, стоящие в левой и правой его частях.
Рэлей для наименьшего корня уравнения (47) нашел следующее значение
Вспомнив выражение для 
получим, что
или, если подставить 
из (16),
Из приведенного примера видно, что проанализировать колебания пластинки в общем случае весьма трудно. Пока мы не будем далее разбирать этого вопроса.
В главе XIV будут изложены другие методы, с помощью которых с меньшим трудом можно получить достаточно точные результаты.
