Общий случай изогнутой пластинки. Компоненты упругого момента

233. Термин «главные кривизны», использованный в предыдущем параграфе, требует некоторых объяснений. Рассматривая квадратную пластинку, стороны которой подвержены действию только изгибающих моментов, мы имеем дело с

частным случаем общей задачи. Подобно тому, как в главе IV, § 114, мы имели дело с частным видом напряженного состояния, когда рассматривали кубик, вырезанный из тела и подверженный действию чисто нормальных напряжений. В общей задаче мы должны предполагать, что на краях пластинки вместе с изгибающими моментами действуют моменты, стремящиеся ее закрутить. На самом деле: рассмотрим равновесие треугольного элемента отмеченного на рис. 77 штриховкой.

Рис. 77.

Пусть этот треугольник представляет собой угол, вырезанный из квадратной пластинки, изученной в предшествующих параграфах. На рис. 77 эта пластинка показана пунктирными линиями. Через обозначим длину через угол между и сторона, на которой действует Очевидно, Полный момент, приложенный к стороне равен Знак этого полного момента соответствует правой по отношению к стрелке, проведенной на рис. 75 параллельно системе осей координат. Длина равна Полный момент, приложенный на стороне равен его знак соответствует правой по отношению к стрелке, проведенной параллельно системе координат.

Пусть линейная интенсивность результирующего момента на стороне имеет составляющие Тогда компоненты результирующего момента на этой стороне равны

знаки их соответствуют правым по отношению к стрелкам, проведенным параллельно и перпендикулярно прямой системам осей координат. Условия равновесия для треугольника требуют, чтобы

откуда мы имеем:

Очевидно, что компонент стремится изогнуть, а компонент -закрутить пластинку.

234. Возьмем оси так, как показано на рис. 77, т. е. по направлению а по направлению Прогиб срединной поверхности, перпендикулярный плоскости чертежа и направленный вверх, обозначим Направление да совпадает с направлением z, если оси образуют правую систему осей координат. Кривизны (§ 231) выражаются формулами:

Из симметрии системы напряжений, приложенной к прямоугольной пластинке следует, что

Пусть оси наклонены под углом соответственно к осям т. е. ось перпендикулярна, а ось параллельна Мы имеем:

Воспользовавшись (I) и (II), получим

Откуда

Последнее выражение (17) может быть записано в следующем виде:

Из (15) получим:

А теперь (18) можно записать так:

Несколько изменим обозначения: опустим штрихи написав вместо х, у, а вместо — будем писать Теперь, в общем случае, для упругой энергии изгиба на единицу площади срединной поверхности получим следующее выражение:

где

На стороне пластинки, перпендикулярной (рис. 78), действует погонный изгибающий момент и погонный крутящий момент а на стороне пластинки, перпендикулярной погонный изгибающий момент и погонный крутящий момент Ну. Знаки моментов соответствуют правым по отношению к стрелкам на рис. 78 системам осей координат. Ну связаны с уравнениями:

Эти уравнения можно получить или из (VIII) или с помощью теоремы, взаимной с первой теоремой Кастилиано (§ 18), из выражения (19). На самом деле, на рис. 78 можно видеть, что являются «силами», соответствующими «перемещениям» и поэтому

Рис. 78.

Только что введенные погонные изгибающие и крутящие моменты известны как компоненты упругого момента. Величины измеряющие кривизну, и величина измеряющая степень кручения срединной поверхности пластинки, связаны с прогибом срединной поверхности,

направленным вверх относительно плоскости чертежа выражениями (20).

236. Прогиб с направлением которого совпадает положительное направление оси z, часто является следствием действия силы тяжести поэтому естественно считать его направленным вниз.

В дальнейшем мы будем ось проводить вертикально вниз, а оси брать в горизонтальной плоскости так, чтобы система была правой.