Главная > Введение в теорию упругости для инженеров и физиков
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Общий случай изогнутой пластинки. Компоненты упругого момента

233. Термин «главные кривизны», использованный в предыдущем параграфе, требует некоторых объяснений. Рассматривая квадратную пластинку, стороны которой подвержены действию только изгибающих моментов, мы имеем дело с

частным случаем общей задачи. Подобно тому, как в главе IV, § 114, мы имели дело с частным видом напряженного состояния, когда рассматривали кубик, вырезанный из тела и подверженный действию чисто нормальных напряжений. В общей задаче мы должны предполагать, что на краях пластинки вместе с изгибающими моментами действуют моменты, стремящиеся ее закрутить. На самом деле: рассмотрим равновесие треугольного элемента отмеченного на рис. 77 штриховкой.

Рис. 77.

Пусть этот треугольник представляет собой угол, вырезанный из квадратной пластинки, изученной в предшествующих параграфах. На рис. 77 эта пластинка показана пунктирными линиями. Через обозначим длину через угол между и сторона, на которой действует Очевидно, Полный момент, приложенный к стороне равен Знак этого полного момента соответствует правой по отношению к стрелке, проведенной на рис. 75 параллельно системе осей координат. Длина равна Полный момент, приложенный на стороне равен его знак соответствует правой по отношению к стрелке, проведенной параллельно системе координат.

Пусть линейная интенсивность результирующего момента на стороне имеет составляющие Тогда компоненты результирующего момента на этой стороне равны

знаки их соответствуют правым по отношению к стрелкам, проведенным параллельно и перпендикулярно прямой системам осей координат. Условия равновесия для треугольника требуют, чтобы

откуда мы имеем:

Очевидно, что компонент стремится изогнуть, а компонент -закрутить пластинку.

234. Возьмем оси так, как показано на рис. 77, т. е. по направлению а по направлению Прогиб срединной поверхности, перпендикулярный плоскости чертежа и направленный вверх, обозначим Направление да совпадает с направлением z, если оси образуют правую систему осей координат. Кривизны (§ 231) выражаются формулами:

Из симметрии системы напряжений, приложенной к прямоугольной пластинке следует, что

Пусть оси наклонены под углом соответственно к осям т. е. ось перпендикулярна, а ось параллельна Мы имеем:

Воспользовавшись (I) и (II), получим

Откуда

Последнее выражение (17) может быть записано в следующем виде:

Из (15) получим:

А теперь (18) можно записать так:

Несколько изменим обозначения: опустим штрихи написав вместо х, у, а вместо — будем писать Теперь, в общем случае, для упругой энергии изгиба на единицу площади срединной поверхности получим следующее выражение:

где

На стороне пластинки, перпендикулярной (рис. 78), действует погонный изгибающий момент и погонный крутящий момент а на стороне пластинки, перпендикулярной погонный изгибающий момент и погонный крутящий момент Ну. Знаки моментов соответствуют правым по отношению к стрелкам на рис. 78 системам осей координат. Ну связаны с уравнениями:

Эти уравнения можно получить или из (VIII) или с помощью теоремы, взаимной с первой теоремой Кастилиано (§ 18), из выражения (19). На самом деле, на рис. 78 можно видеть, что являются «силами», соответствующими «перемещениям» и поэтому

Рис. 78.

Только что введенные погонные изгибающие и крутящие моменты известны как компоненты упругого момента. Величины измеряющие кривизну, и величина измеряющая степень кручения срединной поверхности пластинки, связаны с прогибом срединной поверхности,

направленным вверх относительно плоскости чертежа выражениями (20).

236. Прогиб с направлением которого совпадает положительное направление оси z, часто является следствием действия силы тяжести поэтому естественно считать его направленным вниз.

В дальнейшем мы будем ось проводить вертикально вниз, а оси брать в горизонтальной плоскости так, чтобы система была правой.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru