ГЛАВА XII. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ТОЛСТОСТЕННЫЕ ТРУБЫ И ВРАЩАЮЩИЕСЯ ВАЛЫ

Плоская деформация

400. Решение общей задачи теории упругости, а именно, интегрирование уравнений движения или равновесия при определенных граничных условиях, т. е. при заданных на поверхности тела напряжениях или смещениях, получено только для тел очень простой формы (например, для шара и эллипсоида). Инженер имеет дело с телами сложной формы (как, например, коленчатые валы) и вынужден обычно пользоваться приближенными решениями, которые мы дали для балок и пластинок.

Вместе с тем существует важный класс задач, точные решения которых можно получить с помощью относительно простой теории. Рассмотрим очень длинный цилиндр из однородного и изотропного материала, поперечное сечение которого имеет какую-нибудь заданную форму. Пусть деформации в теле вызываются массовыми силами или напряжениями, приложенными к его боковой поверхности (поверхностными напряжениями). Допустим, что действующие силы или напряжения всюду направлены перпендикулярно оси цилиндра, и их величина не зависит от расстояния по оси, т. е. мы допускаем, что их величины и направления не меняются от сечения к сечению. В таком случае во всем цилиндре, за исключением, может быть, областей, лежащих непосредственно около его концов, деформации, согласно условию минимума упругой энергии (гл. III, § 92), также не будут зависеть от расстояния по оси. Тело после деформации останется цилиндрическим, а плоские поперечные сечения останутся плоскими. Деформация, обладающая такими свойствами, называется плоской деформацией.

401. Выразим наши предположения и заключения математически. Ось направим по оси цилиндра. Компоненты напряжения и благодаря симметрии, должны обращаться в нуль в среднем поперечном сечении цилиндра; мы потребуем, чтобы они равнялись нулю всюду. Если действуют массовые силы, то они должны зависеть только от кроме того, не должны иметь компонента по оси z.

Примем также, что остальные компоненты напряжения не зависят от z. Таким образом величина продольного удлинения не будет зависеть от z. Уравнения движения в напряжениях, т. е. уравнения (16) главы VIII, сведутся к более простому виду:

Третье из них показывает, что ускорения, подобно массовым силам, должны быть всюду направлены перпендикулярно Введя «силы инерции» мы можем заменить члены с ускорением эквивалентными массовыми силами. Итак, в качестве уравнений в напряжениях, соответствующих плоской деформации, мы возьмем следующие:

в силу наших предположений, все шесть компонентов деформации не зависят от z, кроме того, не зависит также от равны нулю. Таким образом из условий совместности, т. е. уравнений (12) главы IX, пять удовлетворяются тождественно. Остается только одно из них, а

именно:

Наконец, в качестве соотношения между тремя нормальными компонентами напряжения мы имеем равенство

402. В этой главе мы будем разбирать те случаи, в которых постоянно, а массовые силы консервативны. Для сил такого рода и мы можем написать:

Обозначим через X некоторую функцию от и предположим, что

Уравнения (2) записываются в следующей форме:

Следовательно, все напряжения можно выразить с помощью одной функции напряжений X, которую обычно называют функцией напряжений Эри. На самом деле мы удовлетворим обоим уравнениям в напряжениях, если положим

Еще необходимо удовлетворить условию (3), которое при подстановке в него функции напряжений приобретает вид:

или, если мы воспользуемся равенством (4):

Подставив сюда (7), мы получим:

Этому уравнению, в случае плоской деформации, и должна удовлетворять функция напряжений Символ означает оператор