Учет сосредоточенных изгибающих моментов

196. При проектировании зданий со стальными рамами нам приходится рассматривать влияние сосредоточенных изгибающих моментов, приложенных к балке посредством других балок, идущих под прямыми углами к основной. Мы, например, можем столкнуться с задачей, показанной на рис. 62, где заданный момент с направлением вращения по часовой стрелке (поперечная нагрузка, конечно, может действовать вместе с но нам не нужно рассматривать ее здесь).

Рис. 62.

Если представляет собой реакцию на левой опоре, то изгибающий момент в сечении с координатой х, очевидно, будет

Обе формулы можно соединить вместе, воспользовавшись правилом Маколея. Так, мы имеем:

Как и раньше предполагаем, что член, заключенный в фигурные скобки, должен быть опущен, когда величина,

содержащаяся в них, отрицательна. Второй член правой части (I) должен рассматриваться при к его значение равно:

Интегрирование (I) даст:

и решение, как и раньше, можно довести до конца.

Примеры

6. Стержень постоянного прямоугольного сечення используется как эталон длнны. На верхней поверхности стержня, близко к его концам, под прямыми углами к его длинной стороне начерчены параллельные линии. Нужно разместить две опоры, на которых лежит стержень, так, чтобы прогибы, вследствие снлы тяжести, не влияли на расстояния между начерченными линиями.

Показать, что опоры нужно разместить (симметрично относительно стержня) на расстоянии друг от друга, длина стержня).

[В соответствии с примером 3 касательные к оси стержня на концах должны быть горизонтальны.]

7. (Oxford F. Е. Е. S. 1932.) Стержень постоянного поперечного сечения и длины свободно опирается на концах и несет рапные грузы на расстояния от одного из концов. Показать, что прогиб в середине равен

8. (Oxford F. Е. Е. S. 1933.) Концы стальной балки постоянного поперечного сечения и длины I лежат на жестком фундаменте. Кроме того, балка опирается в точках пролета, расположенных на расстоянии от концов, на полые стальные колонны. Последние

нмеют постоянное поперечное сечение, высоту и стоят на жестком основании. Когда балка не нагружена, четыре поддерживающие точки находятся на одном уровне.

Показать, что для того, чтобы все четыре опоры воспринимали равные части равномерно распределенной нагрузки, каждая колонна должна иметь площадь поперечного сечения, равную где I — соответствующий момент инерции площади поперечного сечения балки.

9. (Oxford F. Е. Е. S. 1932.) Балка постоянного поперечного сечения и длины опирается на концах и в середине В на упругие опоры. Сила вызывает единичные перемещения опор. Жесткость прн изгибе стержня Балка иесет равномерно распределенную нагрузку. Полная величина этой нагрузки равна Доказать, что реакция центральной опоры В равна

10. (Oxford F. Е. Е. S. 1932.) Балка постоянного поперечного сечения несет равномерно распределенную интенсивности на единицу длины нагрузку и опирается в трех точках (в середине и на обоих концах). Высоту средней опоры можно менять.

Показать, что для того, чтобы максимальный изгибающий момент имел наименьшее из возможных значение, отношение общм нагрузки к нагрузке, несомой средней опорой, должно быть и средняя опора должна располагаться ниже уровня внешних опор на величину где расстояние между внешними опорами.

11. (Oxford F. Е. Е. S. 1934.) Тяжелая балка постоянного поперечного сечения покоится на двух опорах, расположенных на одном уровне и равно удаленных от ее середины. Показать, что наибольший направленный вниз прогиб, измеренный от уровня опор, имеет наименьшее возможное значение тогда, когда расстояние между опорами равно примерно 0,55 длины балки.

12. (Camb. М. S. Т. 19М.) Горизонтальная балка постоянного поперечного сечеиия жестко заделана на одном конце А и в неиагруженном состоянии находится как раз в соприкосновении с жесткой опорой в В, где

Сосредоточенная сила приложена в средней точке участка Показать, что перемещение точки С вверх равно

13. (Camb. М. S. Т. 1934.) Горизонтальная балка постоянного поперечного сечения заделана на концах. Свободная длина балки равна Найти выражение, характеризующее изменение изгибающего момента в точке А, при движении по пролету балки нагрузки

Пусть действует в сечении, расположенном на расстояниях а соотретственно от концов больше

Показать, что для этого положения силы наибольший прогиб возникнет в сечении, находящемся на расстоянии величина его будет равна:

14. С помощью метода Маколея для стержня постоянной жесткости при изгибе получить уравнение (45) главы (теорема трех моментов Клапейрона).

Пример 15 относится к стержню с малой начальной кривизной. Начальная кривизна учитывается так, как описано в § 181. В примерах 15 и 16 можно считать, что изгибающий момент изменяется непрерывно, так как, в противоположность рассмотренному в § 196 передача сосредоточенных моментов конструктивно не обеспечивается.

15. (Camb. М. S. Т. 1933.) Плоская пружина постоянного сечения плотно привинчена одним концом к жесткой плоскости (см. рис.).

Пружина первоначально изогнута так, что на горизонтальном расстоянии X от заделки ордината оси пружины измеряемая от плоскости, равна Длина пружины а находится в таком отношении к что проекцию длины пружины на плоскость можно принять равной а. К свободному концу, как показано на рисунке, приложена сила Доказать, что после приложения снлы часть пружины, имеющая длину от заделанного конца, будет соприкасаться с плоскостью, и что свободный конец будет находиться от плоскости на расстоянии

модуль Юнга, а соответствующий момент инерции площади поперечного сечения пружины.

(Выпрямляя пружину до нуля) мы приложим изгибающий момент величины вращающий левую часть пружины против часовой стрелки.

Если пружина находится в соприкосновении с плоскостью по длине x, то это выражение должно равняться приложенному моменту в точке x, т. е. Этот момент не вызывает давления между пружиной и плоскостью ни в одной точке, кроме х. В точке х имеется сосредоточенная сила Заделка вызывает направленную вниз силу

16. (Camb. М. S. Т. 1934.) Прямоугольный параллелепипед, имеющий вес поднимается вертикальной цепью. Цепь прикреплена к первоначально прямому стержню постоянного поперечного сечения. Стержень проходит через два кольца, симметрично расположенных на параллелепипеде (см. рисунок. Вертикальный масштаб на рисунке сильно увеличен).

Стержень свободно проходит сквозь кольца. Когда он был прямым, то в обоих кольцах его расстояние до верхней грани параллелепипеда равнялось Если параллелепипед поднимать, то стержень своей средней частью плотно приляжет к параллелепипеду. Показать, пренебрегая деформациями параллелепипеда и колец, что длина упомянутой части стержня будет равна х, где х (если это выражение положительно) равен:

) Пружина состоит из трех прямоугольных стальных пластин и Все три пластины имеют одинаковые ширину и толщину. Длины пластин соответственно равны 81,28 см, 61,0 см и 45,72 см (см. рисунок). Первоначально пластины соединены между собой с помощью скобы, помещенной посредине. Верхняя пластина свободно опирается на своих концах. Далее в середине пружины начинает действовать нагрузка

Показать, что соприкосновение между прилегающими пластинками может произойти только на концах и в центре самой

короткой из пластин. Пусть реакции в точках Показать, что

[Предположить, что соприкосновение происходит так, как сказано выше, и показать, что при атом предположении изогнутые пластины отделяются друг от друга.]