Радиальные колебания сплошного изотропного шара

366. Если член с массовой силой в уравнении (41) отсутствует, то мы можем принять, что это уравнение имеет гармоническое по времени решение, т. е.

в этом решении произвольная «фазовая постоянная», постоянная, которая определится позже из «уравнения частот».

Теперь мы имеем:

где

367. Написав в уравнении вместо мы имеем:

Если потенциал смещения, т. е.

то уравнение (I) можно проинтегрировать, и мы получим:

Постоянную в правой части (III), не нарушая общности выражения О, можно считать равной нулю. Если положить:

то (III) примет вид:

Отсюда найдем общее решение нашей задачи, совместное с предположением (49), а именно:

Здесь через А к В обозначены постоянные интегрирования, которые можно определить из граничных условий. Рассмотрим граничные условия.

368. Формула (VI) дает выражение для радиального смещения сферической оболочки или сплошного шара. В первом случае граничные условия заданы на двух поверхностях и из них можно определить А к В. Этот случай мы не будем здесь рассматривать. Во втором случае материал непрерывно заполняет весь объем шара. Радиальное смещение и должно быть нулем в центре (при или х, равном пулю). Следовательно, член с 5 в формуле (VI) должен отсутствовать. Таким образом, опустив множитель, зависящий от времени, мы имеем:

Формула (VI) § 355 запишется так:

Формулам (42) можно придать следующий вид:

Подставив (VII) в первое из этих выражений, мы имеем:

И теперь условие того, что поверхность свободна от напряжений, можно записать в форме

369. Это уравнение относительно представляет собой уравнение частот для нашей задачи. Его корни дают «собственные частоты» (§ 212) свободных колебаний, так как, согласно второму из соотношений (50):

Заметим, что на некотором участке частоты зависят от значений о, т. е. от отношения Если т. е. уравнение (51) принимает вид

и его шесть первых корней равны

Если велико, то мы приближенно можем написать:

а это показывает, что корни при больших значениях очень близки к значениям, кратным и меньше их. Значения этих больших корней практически не зависят от о.

370. Числа (XII) имеют простой физический смысл. Из второго соотношения (50) мы имеем:

где период колебания, а время, затрачиваемое волной расширения при соответствующей скорости на прохождение расстояния, равного диаметру шара.

Для стеклянного шара мы имеем (в единицах

так что (приближенно),

Для основной формы колебания из (XII) и формулы получаем:

Для шара размеров Землн, т. е. (приближенно), формула для периода основной формы колебания дает следующее значение: секунд (приближенно), т. е. около 53 минут.