Применение первой теоремы Кастилиано к задачам об изгибе прямых балок

49. Рассмотрим несколько задач о балках постоянного поперечного сечения. В в этом случае будет величиной постоянной и формулы (16) и (17) примут вид:

Сначала мы рассмотрим задачу о консоли постоянного сечения (рис. 17 А), один конец которой заделан, а второй нагружен сосредоточенной силой, направление которой перпендикулярно оси консоли Для того чтобы вычислить прогиб нагруженного конца, мы используем первую теорему Кастилиано.

Обозначим приложенный груз через а искомый прогиб (который является перемещением, соответствующим через По теореме Кастилиано, примененной к первому из соотношений (18), мы получим

Для в этой задаче, измеряя х от нагруженного конца, мы имеем:

так, что

Подстапляя (I) и (II) в (19), мы получим:

Для того чтобы найти угол наклона консоли на нагруженном конце, мы представим себе, что на этом конце приложен, как показано на рис. 17 (В), момент. Он будет «силой», соответствующей рассматриваемому типу «перемещения» (углу наклона).

Рис. 17.

Обозначим введенный на конце момент через а угол наклона через По теореме Кастилиано получим, что угол наклона равен

Получено уравнение, аналогичное (19). Изгибающий момент в сечении теперь будет так что

Подставляя два последних выражения в (III), мы получаем:

или при равном нулю, что как раз имеет место в рассматриваемой задаче:

Итак,

На стр. 249 дана таблица стандартных случаев прогибов балок. Случай консоли постоянного поперечного сечения, нагруженной на конце сосредоточенной силой, помещен в ней под № 1. Результаты, выраженные формулами (20) и (21), помещены там же и под тем же номером.

50. При изучении настоящего метода, читателю, может быть, будет трудно понять, зачем на конце консоли вводится момент который затем полагается равным нулю. Следует осознать, что, согласно теореме Кастилиано, мы должны скорость возрастания упругой энергии при изменении некоторой обобщенной «силы» приравнять «перемещению», соответствующему этой силе. Возрастая, обобщенная сила может пройти через нуль, но это не скажется на эффекте такого изменения. Точно также ускорение, характеризующее скорость изменения скорости, вообще может иметь значение отличное от нуля, и вызывать существенное действие, несмотря на то, что в рассматриваемый момент скорость равняется нулю.

Рис. 18.

Короче говоря, применяя теорему Кастилиано, мы должны ввести силу, соответствующую тому перемещению, которое мы хотим вычислить.

Для вычисления всей кривой прогиба мы можем применить этот же метод, основанный на первой теореме Кастилиано.

61. Для примера можно рассмотреть консоль постоянного поперечного сечения (рис. 18), подверженную действию равномерно распределенной нагрузки интенсивности Пусть нужно найти прогиб на расстоянии а от заделанного конца. Обозначим искомое перемещение через 8, и введем «соответствующую» силу

Изгибающий момент в сечении, находящемся на расстоянии от свободного конца, теперь будет:

и поэтому

Как и раньше, мы имеем формулу

силу первой строки из интеграл обращается в нуль при , и мы имеем

или, при равном нулю, что имеет место в рассматриваемом случае:

Обычно прогиб обозначают через у и определяют кривую прогиба балки, находя у как функцию - расстояния какого-либо сечения от заделанного конца. Перейдем в к этим обычным обозначениям. Нужно 8, заменить на и для кривой прогиба нашей консоди мы получим:

На свободном конце

Выражение для угла наклона в каком-нибудь данном сечении можно вывести из (22). Мы имеем

На свободном конце мы получим

Консоль с распределенной нагрузкой помещена под № 2 в таблице стандартных случаев прогибов балок, на стр. 249. Результаты, выраженные формулами (23) и (24), даются там же под тем же номером.

52. Читателю может показаться странным то, что мы получили правильное решение задачи о консоли, не вводя (как можно проследить) условия закрепления на заделанном конце. Это было объяснено в первой главе, где рассматривалась система сил каждая из которых могла изменяться независимо от остальных. При этом, не оговаривая, мы предполагали существование в опорах реакций, необходимых для поддержания равновесия тела. Однако мы опускали эти реакции в выражении для полной упругой энергии, а именно:

так как они § 28) не влияют на в силу того, что если опоры абсолютно жесткие, то соответствующие им перемещения равны нулю. В задаче § 49 сила на конце вызывает в заделанном конце вертикальную реакцию и пару с моментом Если к упругой энергии от как функции только перемещения на свободном конце 8,, мы не добавляем энергии от усилий в заделанном конце, то тем самым мы предполагаем, что на заделанном конце не допускается ни вертикальное перемещение, ни поворот.

Такой способ учета условий на концах без фактической записи их является типичной чертой метода Кастилиано.

Примеры

3. Используя метод § 51, найти кривую прогиба консоли постоянного сечения, нагруженной так, как показано на рис. На этом

примере и на результатах § 51 проверить следующий вывод из теоремы взаимности: средний прогиб консоли, вызванный сосредоточенным грузом, приложенным на свободном конце, равен прогибу, вызванному на том же конце тем же грузом, равномерно распределенным по длине стержня (ср. пример 2 главы I, § 12).

4. Из кривых прогиба, полученных в примере 3 и в уравнении (22) § 51, вывести результаты, помещенные на стр. 249, для и 4 таблицы стандартных случаев прогибов балок.

5. Проверить для двух сосредоточенных сил, приложенных к консоли постоянного сечения, теорему, установленную в § 11 главы I.

Рис. 19.

53. В практике теорема Кастилиано, обычно, не используется как метод определения кривых прогиба, потому что кривые прогиба можно получить проще другими способами. Но теорема становится весьма ценной в случае прямых балок, когда нам нужно знать не всю кривую прогиба, а только перемещение отдельных точек (т. е. точек приложения сосредоточенных сил). Для примера рассмотрим задачу, изображенную на рис. 19. Балка постоянного поперечного сечения покоится на трех абсолютно жестких опорах, расположенных на одном и том же уровне и симметрично по отношению к балке. Нужно найти распределение нагрузки между тремя опорами. Задача не может быть решена с помощью только теорем статики (ср. § 2).

Если общий вес балки то он эквивалентен равномерно распределенной нагрузке интенсивности Из симметрии ясно, что крайние опоры будут воспринимать равные силы. Обозначим эти силы через Тогда средняя опора несет нагрузку Предположим, что средняя опора неподвижна. Величина будет получена нами из того условия, что соответствующее ей перемещение равно нулю.

Рассматривая половину балки и измеряя от одного из концов, мы имеем:

Вследсгвие симметрии полная упругая энергия должна быть разделена поровну между двумя половинами балки, так что из (18) мы имеем

Далее, в силу теоремы Кастилиано, условие неподвижности крайней опоры дает:

подставив сюда (I), мы получим:

или

откуда

Нагрузка, которую несет средняя опора, будет равна

Пример

6. (Camb. M.S.T. 1930.) Балка постоянного поперечного сечения длины 21 свободно опирается на концах в середине С. Опоры в абсолютно жестки, а онора С прогибается на величину, которая равна -кратной нагрузке, действующей на нее. Пусть на балку действует сила равномерно распределенная по всей длине. Требуется показать, что реакция средней опоры равна

54. В качестве следующего примера на применение нашего метода рассмотрим балку постоянного поперечного

сечения (рис. 20), заделанную на обоих концах и несущую в середине сосредоточенную силу Определить (а) величину момента в заделке одного из концов и (6) прогиб посредине, т. е. в точке приложения силы.

Здесь опять при первом чтении может возникнуть затруднение, так как читатель интуитивно чувствует, что связано некоторым образом с Но мы можем изменять независимо друг от друга, если поворот концов возможен. Приравнивая поворот на конце (обозначим его 83) нулю, мы фактически получаем ожидаемое соотношение, а именно, уравнение (25).

Рис. 20.

При мы имеем

так что

При этом, так как полная упругая энергия делится поровну между половинами балки, мы имеем

Тогда, (а) так как о «перемещение», соответствующее (т. е. поворот заделанного конца), равно нулю, мы, согласно (I) и имеем:

Таким образом

или

(b) Предполагая, что концы балки неподвижны, мы, согласно (I) и также получим

если подставить сюда из (25), то

Этот пример помещен под номером 5 в таблице стандартных случаев прогибов балок на стр. 249. Результаты (25) и (26) даны там же под тем же номером.

Пример

7. Получить значения моментов на концах и прогиб в середине, если сила равномерно распределена по длине заделанной балки (№ 6 таблицы стандартных случаев прогибов балок).