Влияние на балку постоянного поперечного сечения пульсирующей, движущейся нагрузки

540. Найдя прогиб балки в результате действия на нее движущегося сосредоточенного груза, мы можем интегрированием получить прогиб от действия на балку распределенного груза (например поезда), перемещающегося по ее пролету с постоянной скоростью. При этом нужно еще учесть действие паровоза.

Здесь мы сталкиваемся с тем случаем, когда на рельсы кроме постоянной нагрузки (вес паровоза) действует нагрузка, интенсивность которой меняется со временем [массы, совершающие возвратно-поступательное движение, вызывают

переменное давление (подобное удару молота) колес паровоза на рельсы].

Таким образом нам нужно изучить действие на балку нагрузки, которая не только движется с постоянной скоростью V по пролету, но также и изменяется со временем Пусть действие такой нагрузки можно представить как действие силы угловая скорость колеса паровоза) на расстоянии от левой опоры балки. Предположив, как и раньше, что ее можно представить в виде ряда

Из формулы (74) мы теперь получим

Следовательно, член ряда (I) равен

541. Каждый из двух членов этого выражения имеет вид выражения (77). Следовательно, прогиб от гармоники можно получить методами §§ 535—539 в виде выражения, составленного из двух членов типа (82) или, в случае явления резонанса, типа (83).

Легко показать, что выражение (85) дает член ряда, прэдставляюдего нагрузку вызываемую двумя пульсирующими силами, расположенными посредине, и имеющими величины

и направленными вниз или вверх в соответствии с тем, нечетно или четно Частота каждой из этих сил может резонировать с собственной частотой балки, в этом случае она будет иметь преобладающее значение. Очевидно (так как пропорционально что частота второй силы (I) будет резонировать при меньшей скорости движения, чем первая. Таким образом явление резонанса (влияющее на первую гармонику кривой прогиба) наступит тогда, когда скорость будет такова, что

Тогда мы сможем считать, что в основном прогиб вызывается стационарной пульсирующей силой, действующей посредине и равной

Решив эту задачу методами §§ 536—538, мы найдем, что прогиб приближенно определяется формулой)

В этом случае время, затрачиваемое грузом на то, чтобы пройти балку, равно В тот момент, когда двигающийся груз покидает пролет, мы из (86) имеем

Выражение (87) принимает вид:

Примеры

10. (Camb. М. S. Т. 1933.) Балка однородного материала с постоянной площадью поперечного сечения и длиной пролета I

шарнирно опирается на концах. Она подвергается действию пульсирующей силы двигающейся со скоростью Показать что сила вызывает колебания, которые с некоторым приближением совпадают с колебаниями, вызываемыми действием в середине балки двух стационарных пульсирующих сил, имеющих величины

где

Кроме того, показать, что если мы пренебрежем затуханием и предположим, что равно собственной частоте основного колебания балки, то колебание, вызванное движением пульсирующей силы, приближенно дает прогиб

где стрела прогиба от постоянной действующей посредине силы

542. Выше мы дали только краткий очерк важного раздела теории колебаний, а именно, раздела, относящегося к теории вынужденных колебаний и к использованию рядов по собственным функциям для изображения данной действующей силы. В основном в §§ 539—540 изложены результаты С. П. Тимошенко.

Теория таких явлений была развита глубже К. Е. Инглисом, который указал, как в теории можно учесть ряд весьма важных факторов для инженера-транспортника, например таких, как влияние упругости и затухания в пружинах паровоза и поезда. Его книга «А Matiiematical Treatise on Vibrations in Railway Bridges»®) дает полное и систематическое изложение предмета и содержит много числовых примеров.