Круговая диаграмма Говарда

207. Г. Б. Говард) предложил очень удобный метод для решения задач о продольном изгибе поперечно нагруженных стержней и для изображения соотношений (25).

является уравнением в полярных координатах окружности, расположенной так, как указано на рис. 67а. Таким образом, если мы отождествим с , то радиус-вектор в соответствии со вторым из уравнений (25) будет давать величину

Теперь предположим, что нам нужно найтп кривую прогиба для стержня, находящегося в условиях, показанных на рис. Стержень подвержен действию осевой нагрузки на концах он изгибается моментами вместе с соответствующими перерезывающими силами в этой

задаче и тогда из второго уравнения (25) мы имеем, что отрезок на рис. 67а должен представлять собой и что, если то радиус-вектор должен представлять собой Значение известно из (14).

Таким образом нам известны три точки принадлежащие окружности, и мы можем ее построить. С ее помощью можно получить величину соответствующую любому требуемому значению После этого с помощью (25) можно найти

Рис. 67.

На рис. 68а моменты на концах не действуют, а действует равномерно распределенная нагрузка Поэтому, согласно второму уравнений (25), радиус-вектор окружности, при должен представлять собой Величину для любого другого значения можно найти, вычтя из величины, представленной соответствующим радиусом-вектором, Круговая диаграмма (рис. 68b) понятна без пояснений

208. На рис. 69а изображен стержень, подверженный действию сосредоточенной силы Концы стержня оперты. Реакции опор не зависят от Таким образом (§ 206) равны нулю. а следовательно, и в сечении

имеет разрыв в угле наклона, поэтому для изображения на двух пролетах нужны две различные окружности, пересекающиеся по линии Зная мы можем построить диаграмму (рис. 69b). равно нулю, и моментов на концах нет, следовательно, радиус-вектор должен равняться нулю при и при Итак, нам известны три точки (две совпадающие), принадлежащие каждой из окружностей.

Рис. 68,

Полученная область — общая внутренность двух окружностей отмечена штриховкой на рис.

Надо изучить вопрос о масштабе диаграммы, т. е. длины радиуса-вектора Из третьего уравнения (25) видно, что на рис. 67а представляет собой величину т. е. длина радиуса-вектора, проведенного под углом к начальной прямой (именно, на круговой диаграмме даст величину В рассматриваемой задаче поперечная нагрузка отсутствует. Известно, что при переходе слева направо через сечеиие изменяется скачком на величину — Таким образом, на рис. должно представлять собой известную величину —

Пусть центры окружностей, соответствующих двум разным пролетам. Через обозначим точки пересечения соответствующих окружностей с направлениями Очевидно, так, что точки лежат на прямой линии, перпендикулярной

Рис. 69.

Итак, направление отрезка величина дающая его длину, известны как только известны направления (последние перпендикулярны линиям Выбрав масштаб круговой диаграммы, мы можем фиксировать положение точек а следовательно точек

Более подробно с изложенным методом читатель может ознакомиться в книге Говарда, которая указана в подстрочном примечании к § 207.

Рис. 70.

Заметим, что диаграмма будет состоять из одной окружности (рис. 70), если она построена для стержня, который не подвергается действию поперечных сил или моментов на концах. Радиус-вектор исчезает на этой диаграмме при и при должно быть кратным однако диаметр окружности произволен. Таким образом мы пришли к результатам, полученным ранее (§ 200) другими методами.

Примеры

24. (Camb. М. S. Т. 1932.) Длина стороны квадратной рамы равна Углы рамы жесткие. Рама подвергается действию сил (см. рисунок). Учитывая влияние на изгибающий момент силы сжимающей стержни, показать, что изменение в длинах диагоналей равно

соответствующий момент инерции площади поперечного сечения стержня. При этом предположить, что симметрия не нарушается, и пренебречь изменениями в длинах стержней и прогибом, являющимся следствием перерезывающей силы.

25. Пользуясь круговой диаграммой Говарда решить следующую задачу:

Лонжерон самолета сделан из ели кг/см. Длина лонжерона равна 153 см. Момент инерции поперечного сечения см. На лонжерон вместе с равномерно распределенной нагрузкой действует на концах осевая сила сжатия Моменты на концах равны:

Показать, что при действии осевой силы сжатия изгибающий момент обращается в нуль, в сечении, расположенном примерно на расстоянии 19,1 см от середины лонжерона.

26. (Camb. М. S. Т. 1930.) Стержень постоянного поперечного сечения свободно опирается на концах. Стержень подвержен действию силы осевого сжатия и в сечении, находящемся на расстояниях от концов, несет груз Показать, что прогиб под грузом равен:

где

(Этот результат очень просто следует из геометрических соображений, см. рисунок 69b.)