ГЛАВА II. ПРИМЕРЫ ПРОСТЕЙШИХ УПРУГИХ СИСТЕМ, ПОДЧИНЯЮЩИХСЯ ЗАКОНУ ГУКА

Прямые стержни, подверженные действию сил растяжения или сжатия

37. Простейшим типом нагрузки, приложенной к упругому телу, является пара равных сил, действующих в противоположных направлениях по прямой, соединяющей точки их приложения. Случай такой нагрузки был рассмотрен в § 29 главы Теперь проиллюстрируем его на примере стержня (рис. 11), испытывающего растяжение.

Рис. 11.

Упругая энергия запасенная растягивающей силой в результате малого изменения полного удлинения дается формулой

а отсюда следует, что силу растяжения и удлинение можно считать «соответствующими» силой и перемещением.

При таком представлении выражение предшествующей главы для упругой энергии, запасенной в при растяжении силой дает величину

ибо закон Гука требует, чтобы

Постоянный множитель а в (I) и (II) является коэффициентом влияния (гл. I, § 4) для удлинения происходящего от действия сил растяжения приложенных в А и В.

38. Сейчас мы заранее выскажем выводы из исследований, приводимых ниже. Когда на прямой упругий брус постоянного поперечного сечения действует сила растяжения, то удлинение зависит до некоторой степени от способа приложения силы. Пределы этой зависимости очень узки. Так что практически мы можем сказать, что (а) плоские поперечные сечения (ненагруженного стержня) остаются также плоскими после приложения силы и что полное удлинение распределяется поровну между различными частями длины бруса. Если А площадь поперечного сечения, то длина каждой части бруса увеличивается на одну и ту же относительную величину

здесь является «упругой постоянной», которая называется модулем Юнга.

Полное удлинение стержня будет

где I — длина стержня, испытывающего растяжение. Из (II) и (2) мы можем получить, что коэффициент влияния

Выражение (1) после подстановки в него значения коэффициента влияния приобретет вид

Здесь, как и во всех других случаях, где применяется закон Гука, на знак не накладывается никаких ограничений.

Пример

1. (Camb. M.S.T. 1934.) Стержень который можно предполагать абсолютно жестким, шарнирно укреплен в неподвижной точке А и удерживается в горизонтальном положении двумя упругими тросами и одинакового сечения. Тросы имеют одинаковые упругие свойства. Прикреплены они в точке находящейся на вертикали, проходящей через А (см. рисунок).

Если груз приложен в В, то можно показать, что силы растяжения в и возрастают соответственно на величины

[Стержень абсолютно жесткий, поэтому перемещения должны быть вертикальными и Полные удлинения и

даются выражениями

а их относительные удлинения

Согласно уравнению (2), силы растяжения и в каждом из тросов пропорциональны соответственно Тросы одинаковы, и мы имеем

Моменты этих сил относительно А будут

Сумма этих величин равна Используя (I), мы имеем

откуда получим выражение для Выражение для получим из

39. Площадь поперечного сечения А растягиваемого стержня, вообще говоря, будет изменяться по длине. Но мы сможем применить уравнение (2) на малых участках длины, если предположим, что изменение поперечного сечения растягиваемого стержня по его длине невелико.

Тогда, определяя данное сечение его расстоянием х от одного из концов, мы можем сказать, что малый отрезок удлиняется на величину

где постоянны. Отсюда следует, что полное удлинение стержня равно

Из (II) и (IV) в качестве коэффициента влияния мы получим величину

и тогда, согласно (I), упругая энергия, запасенная стержнем при действии на него силы растяжения будет равна

Очевидно, что при А постоянном выражения (5) и (6) тождественны с (3) и (4). Ниже мы увидим, что иногда

(особенно в случае ферм) упругие свойства растягиваемого стержня удобнее определять, записав выражение для упругой энергии в виде

где — постоянная.

Сравнивая (6) с (7), мы видим, что для стержня с переменным поперечным сечением дается соотношением

которое при постоянном А сводится к

40. В этой главе мы будем рассматривать стержни постоянного поперечного сечения, подверженные растяжению или сжатию. Их упругая энергия дается соотношением

что, согласно (II) и (3), дает

Применяя первую теорему Кастилиано (глава I, § 16) к (4), получим

что совпадает с тем выражением для которое можно получить с помощью (2) и (III). Теорема, взаимная с первой теоремой Кастилиано (глава I, § 18), примененная к (10), дает:

т. е. для силы растяжения с помощью указанной теоремы получено значение, одинаковое с тем, которое можно получить из (2) и (III).