Преобразование компонентов деформации

298. Мы нашли физическое истолкование шести величин

которые известны как компоненты деформации.

Три из них, а именно

представляют собой удлинения или растяжения; остальные три, а именно

сдвиги или угловые деформации. Если (2), (3), (4) и (5) подставить в формулу (1), то мы получим общее выражение для удлинения какого-нибудь отрезка в следующем виде:

Таким образом, удлинение какого-нибудь отрезка, проходящего через данную точку, может быть выражено как функция шести компонентов деформации в этой точке.

299. Исследуем изменение вследствие деформации угла между двумя отрезками, заданными в начальной (недеформированной) конфигурации. Если мы вернемся к § 293, то сможем заметить, что направляющие косинусы отрезка которые в недеформированной конфигурации были

после деформации принимают значения:

В этих формулах через обозначена длина соответственно до и после деформации.

Разлагая как и в § 293, в ряд Тейлора, мы из (II) получим

аналогично

в этом параграфе мы вводим индекс 1, потому что вместе с отрезком мы должны рассматривать другой отрезок, проходящий через точку (скажем, Величины в равенствах (III) представляют собой направляющие косинусы отрезка после деформации. До деформации его направляющие косинусы были Через здесь обозначею «удлинение» в направлении самого отрезка Аналогично для отрезка мы получим:

где через обозначены направляющие косинусы отрезка после деформации, через его направляющие косинусы до деформации, а через удлинение в направлении отрезка

300. Угол между и известен до и после деформации, и пусть равен соответственно где

Подставив сюда (III) и (IV), мы найдем, что

Если мы пренебрежем членами второго порядка малости, то получим:

Если мы теперь предположим, что и первоначально перпендикулярны друг другу, то будет выражать угловую деформацию или «сдвиг», который можно обозначить через В этом случае и из (V) следует, что мал. С точностью до величин первого порядка малости мы имеем:

301. с помощью соотнощений (7) и (9) компоненты деформации можно преобразовать от одной системы прямоугольных осей координат к другой. Если старые, а новые координаты, то мы можем написать

следующую таблицу направляющих косинусов координатных осей:

Для мы можем получить выражение из соотношения (7), если подставим в него , вместо Из соотношения (9) получим выражение для Другие компоненты деформации, отнесенные к х, у, z, можно выразить подобным же образом.

Пример

1. Показать, что написанные ниже величины являются инвариантами (ср. § 275) по отношению к любому ортогональному преобразованию прямоугольных осей координат: