Аналитические методы решения

192. Рассмотрим задачи, в которых основные уравнения можно решить аналитически. К этому классу принадлежат некоторые из тех задач, в которых В является заданной функцией Обратившись к уравнению (8), мы видим, что у можно определить аналитически, когда отношение являющееся функцией х, можно проинтегрировать дважды, но при переменной жесткости при изгибе и в этом случае удобнее пользоваться графическими методами, поэтому в дальнейшем мы примем, что В имеет постоянное значение. Тогда формулы (5)-(7) могут быть записаны так:

Через (для краткости) обозначены вторая, третья и четвертая производные у по х.

Если известен (он определяется из статических соображений, когда балка свободно покоится только на двух опорах), то мы можем определить у из последнего уравнения Проинтегрировав его дважды, мы получим:

произвольные постоянные. Их можно найти из условия, что у принимает заданные значения на двух опорах. Очевидно, что член представляет поворот, а член С — поперечное перемещение балки, как целого.

Для балки, опертой на концах и подвержепиой действию равномерно распределенной поперечной нагрузки интенсивности мы можем написать

а, следовательно.

у обращается в нуль при следовательно, Кроме того, у обращается в нуль при следовательно.

Кривая прогиба дается выражением:

(Этот пример помещен под № 4 в таблице стандартных случаев прогибов балок, см. стр. 249).

193. Изгибающий момент для консоли, заделанной на одном из концов (ср. гл. II, § 49), определяется аналогичным образом, и, следовательно, прогиб можно получить таким же путем.

Рис. 60.

Если реакции статически неопределимы, как например, в задаче с балкой, заделанной на одном конце и просто опертой на другом (см. рис. 60), то а priori неизвестен и должен быть найден из решения задачи. На рис. 60 изображена балка, на которую действует распределенная поперечная нагрузка. Изгибающий момент в заделанном конце сначала неизвестен, но он может быть выражен как функция (неизвестный) реакции (V) на другом конце.

Поместим начало координат в опертом конце. Имеем:

К — неизвестная реакция. Интегрируя один раз, получим:

А можно найти из условия равенства нулю у при

После чего мы получим:

Второе интегрирование даст:

Постоянной интегрирования нет, так как у обращается в нуль при Кроме того, у должен обращаться в нуль при и мы имеем:

откуда

Это значение для V можно подставить в (I) и определить Мы заметим, что опора на заделанном конце несет пять восьмых всей поперечной нагрузки. По существу мы решили задачу для половины симметрической системы, рассмотренной в § 53 главы II. Наш результат подтверждает полученный там вывод.

Примеры

3. Горизонтальная балка прямоугольного поперечного сечения лежит на опорах и слегка изогнута поперечной (вертикальной) сосредоточенной или распределенной нагрузкой. Два из ее поперечных сечений пересекают ось балки соответственно в точках и В (горизонтальную) верхнюю поверхность балки по линиям и а нижнюю поверхность балки по линиям и

Показать (при предположениях, сделанных в приближенной теории изгиба), что если касательные к оси балки в точках А к В параллельны, то полные удлинения верхней поверхности между и и нижней поверхности между и измеренные каждом случае вдоль поверхностей, равны нулю.

Ось балки, так как она пересекает каждое сечение в точках нейтральной оси, нигде не подвергается удлинению, т. е. длина не изменяется. Длина между и на верхней поверхности превосходит длину на величину:

продольное удлинение на верхней поверхности. А -(постоянное) расстояние верхней поверхности от оси балки, а

элемент длины деформированной оси. где наклон сечения к вертикали. Поперечные сечения, содержащие параллельны и поэтому

откуда для верхней поверхности следует искомый результат. Для нижней поверхности исследование аналогично.

[Результат используется в теории точных измерений (ср. пример 6)].

4. (Camb. М. S. Т. 1932.) Балка постоянного поперечного сечения, первоначально прямая, подвержена изгибу в главной плоскости. прямоугольные оси в плоскости изгиба, угол наклона балки к всюду мал. Касательные к оси балки в двух точках и В пересекают в точках

Показать, что момент относительно площади эпюры изгибающего момента, заключенной между ординатами, проходящими через равен длине умноженной на (постоянную) жесткость при изгибе.

5. Проверить выражения для у, данные под номерами 1, 2 и 6 в таблице стандартных случаев прогибов балок на стр. 249.