ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ДЕФОРМАЦИЯМИ БАЛОК ПРИ ИЗГИБЕ

Уравнения, определяющие прогиб прямой балки

179. В предыдущей главе было доказано, что уравнения

с достаточной для практических целей точностью могут применяться во всех задачах, связанных с изгибом первоначально прямых балок. В этих уравнениях представляет собой изгибающий момент, жесткость при изгибе кривизну линии центров тяжести поперечных сечений, называемой осью балки, и — упругую энергию изгиба на единицу длины балки.

Во II главе мы предполагали, что вторая из формул (1) сохраняется для первоначально изогнутых балок так же, как и для прямых, и использовали первую теорему Кастилиано при рещении некоторых задач, связанных с прогибами балок. Сейчас мы будем рассматривать прямые (или почти прямые) балки и изложим различные методы их расчета, основанные на первом из уравнений (1).

180. Деформации, допускаемые в практике, в высшей степени малы, поэтому изогнутая ось балки располагается очень близко от прямой линии, проходящей через концы балки. Один из концов балки возьмем за начало координат. Прямую линию, проходящую через оба конца, — за ось х. Изогнутую ось балки можно определить ее расстоянием у от оси Из сказанного выше следует, что производная

измеряющая угол наклона оси балки, практически будет очень мала Поэтому точное выражение для кривизны, а именно:

можно для практических целей заменить следующие:

Рис. 55.

Выбор знака в формулах зависит от принятого нами правила знаков для Обычно считают положительным изгибающий момент, вращающий левую часть балки по часовой стрелке, и ось у направляющие. Приняв это правило, мы из рис. 55 видим, что кривизна, вызванная положительным такова, что убывает (алгебраически) с возрастанием X, т. е., подставляя значение кривизны (2) в формулу (1), мы должны взять отрицательный знак. Таким образом, в качестве приближенного уравнения, из которого при известных можно получить мы имеем:

181. Изгибающий момзнт связан с интенсивностью распределенной поперечной нагрузки. Через обозначим

перерезывающую силу в поперечном сечении Из статических соображений, рассматривая равновесие заштрихованного элемента на рис. 66, мы получим:

откуда

Исключив из формул (3) и мы получим:

откуда можно определить у, если известны

Рис. 56.

Общая задача этой главы заключается в интегрировании уравнения (3) или (6). При интегрировании (3) появятся две произвольные постоянные, а при интегрировании четыре. Эти постоянные в случае уравнения (3) определяются из того условия, что прогиб на концах имеет заданные значения. В случае уравнения (6) из того условия, что или нунт имеют заданные значения, а согласно (3) и второму из (4),

Если ненагруженная балка немного искривлена, то ее первоначальную форму можно определить с помощью у — величины, характеризующей отклонение оси балки от прямой, проходящей через ее концы. Очевидно, в таких случаях в формулах (3), (6) и (7) у нужно заменить через