Другие примеры тел с начальными напряжениями

80. Соображения, подобные тем, которые были приведены в предшествующих параграфах, играют существенную роль во многих задачах техники. Например, если нужно к жесткому фундаменту прикрепить боттами машину, то обычно

между двумя жесткими поверхностями помещают упругие прокладки. Это делают для того, чтобы прокладки (вследствие испытываемого ими при затянутых гайках сжатия) продолжали вызывать растяжение в болтах, даже тогда, когда вследствие вибраций и т. п. одна или большее число гаек слегка ослабнет. В первых четырех из помещенных ниже примеров основным условием является жесткость фундамента и детали, присоединяемой к нему болтами. Это условие дает одно (кинематическое) соотношение между удлинениями болтов и величиной сжатия прокладки. Другие соотношения получаются из законов статики и упругих свойств элементов, входящих в ту или иную задачу.

Примеры

1. (Oxford F.E.E.S. 1934.) Жесткая прямоугольная плита Прикреплена к фундаменту двумя одинаковыми и симметрично расположенными болтами (см. рис.). Между плитой и фундаментом имеется лист упругой прокладки. Если каждый из болтов затянут так, что в нем развивается сила растяжения то удлинение каждого болта а сжатие прокладки

Показать, что если один из болтов затянуть сильнее, так что сила растяжения в нем станет то сила растяжения в другом болте возрастет на

(Весом, плати и болтов можно пренебречь.)

[Неодинаковые растяжения в болтах вызовут наклон плиты. Соображения симметрии показывают, что короткая сторона прямоугольника останется параллельной фундаменту. Ось проведем через центры болтов, начало О поместим посредине между ними. Пусть сжатия прокладки в точках А к В после того, как болт В затянут, будут соответственно Сжатие в прокладке на расстоянии от О будет

Таково «кинематическое соотношение». Вся сила, с которой прокладка действует на плиту, равна:

где

Тогда как момент сжимающих сил, с которым прокладка действует на плиту относительно оси перпендикулярной будет:

Пусть сила растяжения в болте А после того как затянут болт В. Тогда из (I) и (II) мы имеем:

Разность представляет собой уменьшение сжатия прокладки, а также увеличение удлинения болта в А. Удлинение болта соответствует силе Отсюда

Исключая из (III) и (IV), мы получим приведенный выше

2. (Camb. M.S.T. 1932.) Вертикальная колонна имеет в своем основании жесткую квадратную плиту, которая, как показано на рисунке, прикрепляется четырьмя одинаковыми, симметрично расположенными болтами к жесткому фундаменту. Между плитой и фундаментом имеется лист упругой прокладки. Если каждый из болтов затянут так, что в нем развивается сила то удлинение каждого болта Колонна удерживает вертикальную нагрузку Сжатие прокладки вследствие действия и растягивающих сил в болте равно

Предполагая, что болты остаются затянутыми и прокладка сжатой, показать, что если линия действия силы сдвинется по

горизонтали на расстояние х в плоскосги XX, то растягивающая сила в каждом болте изменится на величину

(см. скан)

Влиянием отверстий для болтов в прокладке можно пренебречь и можно принять, что болты испытывают чистое растяжение.

3. (Camb. M.S.T. 1932.) Скоба, как показано на рис., прикреплена тремя одинаковыми болтами к жесткому фундаменту. Горизонтальная сторона скобы прямоугольная и покоится на упругой прокладке в виде пластинки. Вначале болты А В растянуты так, что сила растяжения в них Эта сила вызывает удлинение в болтах и равномерное сжатие в прокладке. Болт С затянут точно так же. Показать, что сила приложенная к скобе, как показано на рисунке, вызовет растяжение в болте С, даваемое формулой

Влиянием отверстий для болтов в прокладке можно пренебречь и можно принять, что болты находятся в состоянии чистого растяжения, а прокладка всюду в сжатом состоянии.

4. Цокольная плита машины покоится на четырех упругих шайбах, расположенных по углам прямоугольника и прикреплена к бетонному фундаменту болтами, проходящими сквозь шайбы. Вначале каждый из болтов находился под действием растягивающей силы Удлинение болта на единицу растягивающей силы равно одной четвертой укорочения шайбы на единицу сжимающей силы. Пусть гайка в А удалена. Показать, что растягивающие силы в болтах станут соответственно

[Следует предположить, что плита и бетонный фундамент жестки, по сравнению с болтами и шайбами, и что все шайбы остаются в состоянии сжатия.]

(см. скан)

5. (Camb. М. S. Т. 1930.) Жесткость при изгибе вертикальной трубы имеющей длину I и площадь поперечного сечения увеличена с помощью тросов, соединяющих концы трубы с четырьмя расходящимися в стороны рычагами в ее середине. Рычаги имеют равную длину и расположены так, что составляют друг с другом равные углы (см. рис.).

Тросы, соединяющие концы рычагов с концами трубы, наклонены под углом а к вертикали. Тросы имеют площадь поперечного сечения, равную Первоначально тросы растягиваются до одинакового натяжения и, следовательно, вызывают начальную силу сжатия в трубе. Показать, что если к трубе, подкрепленной таким образом, приложить в дополнительную силу данлепия то сила сжатия в трубе будет

где и соответственно модули Юнга материалов тросов и трубы. Рычаги предполагаются абсолютно жесткими.