Главные удлинения

302. Сформулируем и докажем теорему, аналогичную теореме о главных напряжениях, рассмотренной в § 276 гл. Итак, докажем, что каково бы ни было в некоторой точке деформированное состояние, всегда можно найти три взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через эту точку, которые были взаимно перпендикулярными также и до деформации. Эти прямые являются направлениями, для которых удлинения имеют стационарные значения (максимум, минимум или минимакс). Стационарные

значения удлинений называются главными удлинениями в рассматриваемой точке.

Это основная теорема теории деформаций. Из нее следует, что в том случае, когда направление главных удлинений безразлично, наиболее общее деформированное состояние можно определить, задав значения трех главных удлинений. Для того чтобы задать полностью деформированное состояние, мы должны так же, как при определении напряженного состояния, задать шесть величин.

303. Доказательство нашей теоремы в общих чертах аналогично доказательству соответствующей теоремы из теории напряжений (гл. VIII, §§ 277—278).

Мы получили выражение:

которое выражает удлинение как функцию направляющих косинусов Коэффициенты при косинусах заданы, и следовательно, постоянны. Вспомним, что не независимы, так как они удовлетворяют уравнению:

Отсюда, как в главе VIII, § 277, мы имеем:

Если принимает стационарное значение, то из (7) мы имеем

Исключив из этих условий производные с помощью соотношений мы получим условия достижения стационарного значения для величины в следующем виде:

Из условий (IV) мы имеем:

Отсюда видно, что в условиях (IV) представляет собой удлинение т. е. удлинение в направлении, определяемом направляющими косинусами Нам нужно показать, что решения (IV) существуют.

Напишем (IV) так:

Вспомним, что согласно (I), не могут одновременно обращаться в нуль. Отсюда следует, что решение существует тогда, когда:

Это кубическое относительно уравнение с действительными коэффициентами. Оно имеет, по крайней мере, один действительный корень, например Итак, в случае любого из возможных деформированных состояний существует, по крайней мере, одно направление стационарного удлинения. Его можно найти из условий (IV), если заменить в них на

304. Через обозначим направляющие косинусы определенного таким образом направления.

Величины удовлетворяют соотношениям и мы имеем

Умножим эти уравнения соответственно на и сложим. Через мы обозначаем направляющие косинусы любого направления, перпендикулярного

Величины и удовлетворяют условию ортогональности:

в силу этого условия мы имеем:

Последнее уравнение, согласно (9), показывает, что

Здесь направления, определяемые соответственно направляющими косинусами и

Ох может иметь любое направление, перпендикулярное и мы получаем, что все напразления, первоначально перпендикулярные остаются перпендикулярными и после деформации.

305. Отсюда следует, что если мы изменим оси координат и направим по направлению главного удлинения то компоненты деформации в новой системе координат будут равны нулю. Уравнения (V) в новой системе координат запишутся следующим образом:

Отсюда мы получаем или уже найденное решение:

Этими значениями удовлетворяется первое из уравнений (VIII). Второе и третье дают:

или

Это уравнение имеет следующие корни:

Оба корня действительны.

Итак, во всех случаях мы можем найти еще два направления главных удлинений. Так же, как в § 304, мы можем показать, что они перпендикулярны друг другу как до, так и после деформации. Таким образом, теорема, сформулированная в § 302, доказана.