Главная > Введение в теорию упругости для инженеров и физиков
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Другие типы условий на концах

199. Теперь исследуем решение:

которое, как мы видели, возможно при определенных условиях. Найдем другие условия, при которых можно получить это же решение.

Стержень должен находиться под действием силы сжатия которая связана с а формулой (14). Сила сжатия должна действовать вдоль прямой Подчинив стержень этому условию, мы можем принять, что ось сжатого стержня (или «стойки») представляет собой некоторую часть бесконечной синусоиды (рис. 64), на концах которой приложены нужные усилия.

Рис. 64.

Если длина полуволны синусоиды, то; так что

Из (20), выражая через полную длину I нашего сжатого стержня, мы можем получить критические силы для большого числа условий нагружения.

Так, §§ 197 —198 относятся к стойкам длины один конец которых заделан, а другой находится на линии действия силы сжатия [см. случай рис. 65]. Обращаясь к рис. 64, мы видим, что наши условия удовлетворяются тогда, когда какая-нибудь одна из частей синусоиды

и так далее рассматривается как ось стойки, т. е. когда или Подставляя эти соотношения в (20), мы получим прежний результат:

Теперь ясно видно, что характер «формы продольного изгиба» (§ 198) связан с соответствующей «критической силой».

200. Если мы имеем стержень, оба конца которого «просто оперты» (т. е. концы его должны оставаться на линии действия силы сжатия, а угол наклона к вертикали ничем не стеснен), то рис. 64 все еще применим. Только теперь для того, чтобы представить ось стержня, нужно брать следующие части синусоиды:

Таким образом I можно приравнять произведению любого целого числа на и уравнение (20) для такого типа нагрузки дает следующий ряд критических сил:

65].

Если оба конца стержня заделаны и находятся на одной и той же прямой, то часть синусоиды является возможной формой оси стержня Можно найти другие возможные формы, для которых Критические силы для этого типа нагрузки рис. 65] даются соотношением

201. Наименьшие критические силы для этих трех типов нагрузки и формы продольного изгиба для каждого случая изображены на схемах и рис. 65. Правая схема относится к стержню, оба конца которого вынуждены оставаться на фиксированной прямой. Один из концов «просто оперт», а другой «заделан» (так что не допускаются прогибы на обоих концах, а изменение угла наклона только на одном из

них). Этот случай не охватывается данным выше решением, так как надо добавлять боковую силу (силу реакции) на опертом конце, потому что в заделке вводится реактивный момент. На схеме боковая сила обозначена через

В этом случае изгибающий момент в сечении х равен:

Рис. 65.

Уравнение (13) заменяется следующим:

как и раньше, связано с формулой (14). Общее решение (II) будет:

произвольны. Как и раньше, так как у обращается в нуль вместе с х, но теперь

прогиб и угол наклона должны обращаться в нуль при и мы получаем два условия:

Исключив из них А, мы в качестве уравнения, аналогичного (17), имеем:

Его можно решить приближенно пробными подстановками. Первый корень (отличный от обращающего у в тождественный нуль) равен:

Из (14) мы получаем:

Рассмотренный в этом параграфе случай фактически не является исключением из утверждения, сделанного в § 199, где говорилось, что уравнение (16) определяет прогибы, измеренные от. линии действия силы сжатия. В нашем примере, благодаря асимметрии, введена поперечная сила V, а поэтому результирующая сила сжатия действует вдоль линии Если мы возьмем эту линию действия силы за ось то член в решении (III) пропадет.

202. Для формы прогиба, когда начало взято в <просто опертом конце> и когда оси направлены по линии действия силы сжатия и перпендикулярно ей, мы получим выражение:

постоянная С в соотношении (III) последнего параграфа равна нулю, потому что у должен исчезать вместе с х.

Если у обращается в нуль при (т. е. вторая опора помещена в точку приложения силы сжатия), то мы имеем:

и (I) можно записать в форме:

Для угла наклона, при получим:

для изгибающего момента на этом конце (IV)

имеют направления, указанные на рис. 66.

Рис. 66.

Если А не равно нулю (т. е. если ось стержня не является прямой), то мы имеем:

а это показывает, что изгибающий момент пропорционален углу наклона. Работа, совершаемая изгибающим моментом на конце при изменении угла наклона (вследствие прогиба) от нуля до его окончательного значения измеряется величиной

Отношение [см. (24)] измеряет жесткость стойки по отношению к деформации под действием изгибающего момента на конце.

Интересно исследовать изменение величины, стоящей в скобках, при возрастании силы сжатия (а отсюда и от нулевого значения. Если то исследуемая величина положительна. Отсюда следует, что согласно (V) изгибающий момент должен совершать положительную работу для того, чтобы вызвать наклон на конце.

При (т. е. равно первому критическому значению) отношение равно нулю. На конце нет изгибающего момента. Условия, в которых находится стержень, совпадают с условиями для «простого опертого стержня», рассмотренного в § 200. При немного большем отношение отрицательно. направлен так, что противодействует возрастанию Эти условия сохраняются до тех пор, пока не станет удовлетворять уравнению (VI) предыдущего параграфа. Тогда знаменатель величины, стоящей в скобках, обращается в нуль, а отношение изменяется от бесконечного отрицательного до бесконечного положительного значения. Бесконечное значение этой величины означает, конечно, что прогиб стержня (а отсюда и момент в опоре может возрастать без изменения угла наклона на конце (это условия случая, рассмотренного в § 201).

Если возрастает дальше, то величина (положительная) уменьшается до тех пор, пока не примет значения при котором опять обратится в нуль. В рассмотренном интервале кривая прогиба имеет точку перегиба. При мы имеем случай просто опертого стержня, ось которого деформирована в кривую с двумя полуволнами; соответствующее значение второй критической силы дается формулой (21). Если возрастает еще дальше, то мы получаем аналогичный ряд явлений, в котором, при определенных значениях могут возникнуть кривые с тремя, четырьмя и т. д. полуволнами.

Примеры

18. (Oxford F. Е. Е. S. 1934.) Стойка постоянного поперечного сечения «просто оперта» в трех лежащих на одной прямой точках причем и Стойка по всей длине подвержена действик) силы сжатия Показать, что

в этом примере «критическая сила Эйлера» дается выражением где — жесткость при изгибе, а а удовлетворяет уравнению

Если начало координат взять в А, ось направить по то, как и выше в (IV), мы найдем, что

где А — произвольная постоянная. Аналогично, поместив начало координат в С и направив ось по мы для пролета найдем, что

А — вторая произвольная постоянная.

Сами величины не определены, но их отношение должно удовлетворять определенному соотношению. На самом деле к промежуточной опоре В применимы и (I) и (II) и в ней должны быть непрерывны как угол наклона касательной к оси стойки, так и кривизна, т. е. мы можем написать:

(При этом учтено, что оси имеют противоположные направления). Так, что

Отсюда перекрестным умножением мы получим требуемый результат [N. В. Мы определяем критические силы, и поэтому решение не представляет для нас интереса].

19. (СашЬ. М. S. Т. 1932.) Имеем стойку длины Ковцы ее заделаны в упругий материал. Реакция упругого материала характеризуется моментом X на один радиан угла поворота. Показать,

что вызывающая потерю устойчивости (т. е. первая критическая) сила дается уравнением

где

Если длина стойки равна 305 см, то теоретическая критическая сила в случае незаделанных концов равна Показать, что теоретическая критическая сила увеличится приблизительно в два раза, если концы стойки будут находиться под действием возникшего в опоре момента величины 1860 кгсм на 1 градус поворота.

20. Для примера 19 показать (рассмотрев частный случай, при что из данного в нем уравнения получается только часть ряда критических нагрузок и доказать, что другая часть этого ряда может быть получена из решений уравнения:

21. (Camb. М. S. Т. 1932.) Две одинаковые вертикальные стойки заделаны в нижних концах, их верхние концы удерживают горизонтальный стержень несет груз, приложенный так, как показано на рисунке. Стержень можно считать абсолютно жестким, а соединения и А к В шарнирными.

Показать, что прогибы рамы в вертикальной плоскости сильно возрастут, если превзойдет величину, определяемую решением уравнения

где соответствующий момент инерции площади поперечного сечения обеих стоек.

22. При условиях примера 21 показать (рассмотрев частный случай что данное уравнение не включает в себя все возможные типы деформации.

Доказать, что другие типы деформации будут иметь место тогда, когда выполняются два следующих соотношения:

( целые положительные числа),

23. Показать, что данное уравнение не дает критерия в частном случае Исследовать этот случай и показать, что критические силы можно получить из уравнения

1
Оглавление
email@scask.ru