Другие типы условий на концах

199. Теперь исследуем решение:

которое, как мы видели, возможно при определенных условиях. Найдем другие условия, при которых можно получить это же решение.

Стержень должен находиться под действием силы сжатия которая связана с а формулой (14). Сила сжатия должна действовать вдоль прямой Подчинив стержень этому условию, мы можем принять, что ось сжатого стержня (или «стойки») представляет собой некоторую часть бесконечной синусоиды (рис. 64), на концах которой приложены нужные усилия.

Рис. 64.

Если длина полуволны синусоиды, то; так что

Из (20), выражая через полную длину I нашего сжатого стержня, мы можем получить критические силы для большого числа условий нагружения.

Так, §§ 197 —198 относятся к стойкам длины один конец которых заделан, а другой находится на линии действия силы сжатия [см. случай рис. 65]. Обращаясь к рис. 64, мы видим, что наши условия удовлетворяются тогда, когда какая-нибудь одна из частей синусоиды

и так далее рассматривается как ось стойки, т. е. когда или Подставляя эти соотношения в (20), мы получим прежний результат:

Теперь ясно видно, что характер «формы продольного изгиба» (§ 198) связан с соответствующей «критической силой».

200. Если мы имеем стержень, оба конца которого «просто оперты» (т. е. концы его должны оставаться на линии действия силы сжатия, а угол наклона к вертикали ничем не стеснен), то рис. 64 все еще применим. Только теперь для того, чтобы представить ось стержня, нужно брать следующие части синусоиды:

Таким образом I можно приравнять произведению любого целого числа на и уравнение (20) для такого типа нагрузки дает следующий ряд критических сил:

65].

Если оба конца стержня заделаны и находятся на одной и той же прямой, то часть синусоиды является возможной формой оси стержня Можно найти другие возможные формы, для которых Критические силы для этого типа нагрузки рис. 65] даются соотношением

201. Наименьшие критические силы для этих трех типов нагрузки и формы продольного изгиба для каждого случая изображены на схемах и рис. 65. Правая схема относится к стержню, оба конца которого вынуждены оставаться на фиксированной прямой. Один из концов «просто оперт», а другой «заделан» (так что не допускаются прогибы на обоих концах, а изменение угла наклона только на одном из

них). Этот случай не охватывается данным выше решением, так как надо добавлять боковую силу (силу реакции) на опертом конце, потому что в заделке вводится реактивный момент. На схеме боковая сила обозначена через

В этом случае изгибающий момент в сечении х равен:

Рис. 65.

Уравнение (13) заменяется следующим:

как и раньше, связано с формулой (14). Общее решение (II) будет:

произвольны. Как и раньше, так как у обращается в нуль вместе с х, но теперь

прогиб и угол наклона должны обращаться в нуль при и мы получаем два условия:

Исключив из них А, мы в качестве уравнения, аналогичного (17), имеем:

Его можно решить приближенно пробными подстановками. Первый корень (отличный от обращающего у в тождественный нуль) равен:

Из (14) мы получаем:

Рассмотренный в этом параграфе случай фактически не является исключением из утверждения, сделанного в § 199, где говорилось, что уравнение (16) определяет прогибы, измеренные от. линии действия силы сжатия. В нашем примере, благодаря асимметрии, введена поперечная сила V, а поэтому результирующая сила сжатия действует вдоль линии Если мы возьмем эту линию действия силы за ось то член в решении (III) пропадет.

202. Для формы прогиба, когда начало взято в <просто опертом конце> и когда оси направлены по линии действия силы сжатия и перпендикулярно ей, мы получим выражение:

постоянная С в соотношении (III) последнего параграфа равна нулю, потому что у должен исчезать вместе с х.

Если у обращается в нуль при (т. е. вторая опора помещена в точку приложения силы сжатия), то мы имеем:

и (I) можно записать в форме:

Для угла наклона, при получим:

для изгибающего момента на этом конце (IV)

имеют направления, указанные на рис. 66.

Рис. 66.

Если А не равно нулю (т. е. если ось стержня не является прямой), то мы имеем:

а это показывает, что изгибающий момент пропорционален углу наклона. Работа, совершаемая изгибающим моментом на конце при изменении угла наклона (вследствие прогиба) от нуля до его окончательного значения измеряется величиной

Отношение [см. (24)] измеряет жесткость стойки по отношению к деформации под действием изгибающего момента на конце.

Интересно исследовать изменение величины, стоящей в скобках, при возрастании силы сжатия (а отсюда и от нулевого значения. Если то исследуемая величина положительна. Отсюда следует, что согласно (V) изгибающий момент должен совершать положительную работу для того, чтобы вызвать наклон на конце.

При (т. е. равно первому критическому значению) отношение равно нулю. На конце нет изгибающего момента. Условия, в которых находится стержень, совпадают с условиями для «простого опертого стержня», рассмотренного в § 200. При немного большем отношение отрицательно. направлен так, что противодействует возрастанию Эти условия сохраняются до тех пор, пока не станет удовлетворять уравнению (VI) предыдущего параграфа. Тогда знаменатель величины, стоящей в скобках, обращается в нуль, а отношение изменяется от бесконечного отрицательного до бесконечного положительного значения. Бесконечное значение этой величины означает, конечно, что прогиб стержня (а отсюда и момент в опоре может возрастать без изменения угла наклона на конце (это условия случая, рассмотренного в § 201).

Если возрастает дальше, то величина (положительная) уменьшается до тех пор, пока не примет значения при котором опять обратится в нуль. В рассмотренном интервале кривая прогиба имеет точку перегиба. При мы имеем случай просто опертого стержня, ось которого деформирована в кривую с двумя полуволнами; соответствующее значение второй критической силы дается формулой (21). Если возрастает еще дальше, то мы получаем аналогичный ряд явлений, в котором, при определенных значениях могут возникнуть кривые с тремя, четырьмя и т. д. полуволнами.

Примеры

18. (Oxford F. Е. Е. S. 1934.) Стойка постоянного поперечного сечения «просто оперта» в трех лежащих на одной прямой точках причем и Стойка по всей длине подвержена действик) силы сжатия Показать, что

в этом примере «критическая сила Эйлера» дается выражением где — жесткость при изгибе, а а удовлетворяет уравнению

Если начало координат взять в А, ось направить по то, как и выше в (IV), мы найдем, что

где А — произвольная постоянная. Аналогично, поместив начало координат в С и направив ось по мы для пролета найдем, что

А — вторая произвольная постоянная.

Сами величины не определены, но их отношение должно удовлетворять определенному соотношению. На самом деле к промежуточной опоре В применимы и (I) и (II) и в ней должны быть непрерывны как угол наклона касательной к оси стойки, так и кривизна, т. е. мы можем написать:

(При этом учтено, что оси имеют противоположные направления). Так, что

Отсюда перекрестным умножением мы получим требуемый результат [N. В. Мы определяем критические силы, и поэтому решение не представляет для нас интереса].

19. (СашЬ. М. S. Т. 1932.) Имеем стойку длины Ковцы ее заделаны в упругий материал. Реакция упругого материала характеризуется моментом X на один радиан угла поворота. Показать,

что вызывающая потерю устойчивости (т. е. первая критическая) сила дается уравнением

где

Если длина стойки равна 305 см, то теоретическая критическая сила в случае незаделанных концов равна Показать, что теоретическая критическая сила увеличится приблизительно в два раза, если концы стойки будут находиться под действием возникшего в опоре момента величины 1860 кгсм на 1 градус поворота.

20. Для примера 19 показать (рассмотрев частный случай, при что из данного в нем уравнения получается только часть ряда критических нагрузок и доказать, что другая часть этого ряда может быть получена из решений уравнения:

21. (Camb. М. S. Т. 1932.) Две одинаковые вертикальные стойки заделаны в нижних концах, их верхние концы удерживают горизонтальный стержень несет груз, приложенный так, как показано на рисунке. Стержень можно считать абсолютно жестким, а соединения и А к В шарнирными.

Показать, что прогибы рамы в вертикальной плоскости сильно возрастут, если превзойдет величину, определяемую решением уравнения

где соответствующий момент инерции площади поперечного сечения обеих стоек.

22. При условиях примера 21 показать (рассмотрев частный случай что данное уравнение не включает в себя все возможные типы деформации.

Доказать, что другие типы деформации будут иметь место тогда, когда выполняются два следующих соотношения:

( целые положительные числа),

23. Показать, что данное уравнение не дает критерия в частном случае Исследовать этот случай и показать, что критические силы можно получить из уравнения