Влияние эксцентриситета точки приложения силы и начальной кривизны

467. В действительности ось стержня никогда не является строго прямой, а линия действия результирующей силы сжатия никогда не проходит через центры тяжести торцевых сечений. В силу этого стержень подвергается изгибающим усилиям, и сразу же при первом приложении нагрузки происходят боковые прогибы. Пусть у, как и раньше, обозначает прогиб оси стержня от линии действия сжимающей силел в сечении с координатой x. Допустим, что форма оси до приложения нагрузки определяется начальным прогибом (ср. § 181). Изменение кривизны вследствие изгиба равно

а изгибающий момент, как и раньше, равен Уравнение (1) заменяется другим:

Если В не зависит от то уравнение (5) принимает вид:

где Пусть оба конца стержня шарнирно закреплены, тогда имеем следующие условия на концах:

при Сравнивая уравнение (6) с аналогичным по виду уравнением, вытекающим из уравнения (I) § 205, мы видим, что влияние начального прогиба у на окончательное смещение эквивалентно поперечной нагрузке, вызывающей дополнительный изгибающий момент величины

Другими словами, у будет давать одно и то же окончательное сжщенпе независимо от того, вызван ли он начальными погрешностями или действием поперечной нагрузки. Следовательно, при постоянной В влияние известных начальных прогибов можно исследовать методами §§ 205—208.

Общее решение уравнения (6) можно получить методом «варьирования произвольных постоянных», оно будет:

где через обозначеьы произвольные нижние пределы интегрирования. В рассматриваемой сейчас задаче на каждом из концов стержня. Это требует, чтобы равнялось нулю, а удовлетворяло бы соотношению:

Выбирая иначе, можно удовлетворить другим условиям закрепления на концах.

Пример

I. Изучить случай, в котором

Показать, что решение уравнения (5) в этом случае будет:

а максимальный прогиб (в среднем сечении) имеет величину:

468. Если у известен, то интегралы, входящие в выражение (7), могут быть легко вычислены, но, обычно, у неизвестен, и поэтому наиболее интересно получить решение уравнения (5) для форме рядов Фурье. Умножим (5) на и проинтегрируем «по частям» в пределах от до I, помня, что при Таким путем получим:

или, если воспользуемся равенством (3): I

Предположим, что

Подставив в (9), получим:

потому что

По природе задачи являются непрерывными функциями следовательно, их можно представить рядами типа (10). Далее из (9) мы найдем условия, связывающие коэффициенты рядов для таким образом получим для у общее решение, зависящее от к В.

469. Сосредоточим внимание на среднем сечении стержня, где Пусть обозначает начальный, а 8 окончательный прогибы в этом сечении. Из (10) имеем:

Члены с четными индексами не войдут ни в ряд для 8, ни в ряд для .

Если вызван погрешностями производства, то мы можем считать, что имеют тот же порядок, что и Согласно

Отсюда мы видим, что при стремлении к отношение — становится очень большим, а отношения так как малы, почти равны единице. Следовательно, каков бы ни был вид функции прогиб в середине под силой близкой к с большой точностью определяется соотношением:

а это — уравнение равнобочной гиперболы. Положив

мы из (13) и (14) имеем:

В этом выражении мы можем пренебречь членами, начиная с

Тогда получим:

Отсюда вытекает, что кривая как функция является равнобочной гиперболой с асимптотами: