Точность приближенного исследования. Теория «эластики»

471. Подводя итог нашим выводам, мы можем сказать, что практически, в силу неизбежных погрешностей производства, стержень начинает прогибаться сразу после того, как на него подействовала какая-нибудь сила. Представив начальный прогиб в виде ряда Фурье, мы для отношений, характеризующих изменение различных гармоник ряда в зависимости от изменения силы сжатия, получили равенства (14). Первое выражение (14) стремится к бесконечно большой величине, когда сила сжатия стремится к первой критической силе Поэтому мы вправе предположить, что первая гармоника является доминирующей в наблюдаемом прогибе. Экспериментально это подтверждается, но опыты не подтверждают другого вывода, подсказываемого § 469, о том, что при прогиб в среднем сечении может быть сколь угодно большим. На рисунке 112 схематически показана последовательность деформаций для первоначально искривленного в форме одной полуволны синусоиды стержня, подвергающегося действию постоянно возрастающей осевой силы сжатия. Мы видим, что прогиб в середине достигает максимального значения тогда, когда концы стержня удалены друг от друга на некоторое малое расстояние. Если опыт продолжать также после того, как концы стержня пройдут

один мимо другого, то с ростом нагрузки прогибы начнут уменьшаться, асимптотически приближаясь к нулю (предполагается, что материал не переходит за предел пропорциональности).

472. Причина противоречий между теоретическим выводом и экспериментом, как можно ожидать, заключается в том, что в теории для прогибов любой величины используется верное только для малых выражение кривизны оси стержня, а именно

Рис. 112.

Вернемся к § 466, в котором рассматривались только первоначально прямые стержни, и заметим, что когда прогиб у велик, как, например, на рис. 113, то уравнение (1) нужно заменить следующим:

где через обозначено расстояние рассматриваемого сечения от некоторого фиксированного сечения, измеренное по оси стержня, а через угол наклона оси стержня к линии действия силы.

Таким образом:

Продифференцировав уравнение (1) по воспользовавшись (II), мы получим уравнение, определяющее деформированную ось стержня (эластику)

473. Уравнение (20) по форме совпадает с уравнением свободных колебаний математического маятника.

Умножим его на 2, проинтегрируем и получим:

где через а (см. рис. 113) обозначен угол, под которым ось стержня пересекает линию действия силы. Из последнего равенства можно видеть, что так же, как в уравнении (I) обращается в нуль при

Рис. 113.

Разделив на В, имеем:

Положим:

Из (21) получим:

или, умножив обе части этого уравнения на

В точке А (рис. 113) а поэтому в точке В прогиб достигает максимального значения и, следовательно, Отсюда, если измеряется от точки А в направлении, для которого отрицательны для малых значений и.

Таким образом в равенстве (23) нужно взять минус. Мы имеем:

Мы получим длину оси стержня от точки до точки В (половину длины всего стержня), если верхний предел интеграла возьмем равным нулю. Обозначая длину стержня через 1, имеем:

где является «полным эллиптическим интегралом первого рода». Вычитая (I) из (24), получаем:

где является «эллиптическим интегралом первого рода» с «модулем» k и «амплитудой» .

474. Так как согласно (22) и (23), имеем:

(из двух возможных знаков, как и раньше, берется минус).

Нижний предел интегрирования нужно взять равным

т. е. значению в сечениях (например А на рис. 113), для которых у равен нулю. Итак,

Прогиб в середине, при будет

Наконец, расстояние между сечениями на рис. измеренное по линии действия силы, будет:

Следовательно, расстояние между двумя последовательными точками перегиба оси стержня можно определить из такого соотношения:

Последнее равенство имеет место согласно (23), где, как и раньше, из двух возможных знаков берется минус.

Подставив как функцию мы получим:

Значение К объяснено выше, а

называется «полным эллиптическим интегралом второго рода».

475. Теперь можно вычертить истинную зависимость прогиба в среднем сечении (8) от осевой силы сжатия для стержня, изогнутого так, как показано на рисунке 112. Из (24) мы имеем:

а из (24) вместе с (27):

Опираясь на эти соотношения и используя таблицы эллиптического интеграла легко проследить, как зависит от Таблица составлена следующим образом. Первый столбец дает угол наклона оси стержня на концах к линии действия силы; второй — зависимость А от а [см. (22)]; третий —

значения взятые из справочника Dale, Mathematical Tables, а четвертый и пятый столбцы непосредственно вычислены.

Таблица 1 (см. скан)

На рис. 114 для сравнения с приближенным исследованием § 446 вычерчена кривая зависимости от Согласно приближенному исследованию, 8 могло иметь любую величину при в решении (2) не было определено). Согласно точному исследованию, 8 при изменении от до бесконечности сначала возрастает, а затем убывает.