Точность приближенного исследования. Теория «эластики»
471. Подводя итог нашим выводам, мы можем сказать, что практически, в силу неизбежных погрешностей производства, стержень начинает прогибаться сразу после того, как на него подействовала какая-нибудь сила. Представив начальный прогиб
в виде ряда Фурье, мы для отношений, характеризующих изменение различных гармоник ряда в зависимости от изменения силы сжатия, получили равенства (14). Первое выражение (14) стремится к бесконечно большой величине, когда сила сжатия стремится к первой критической силе
Поэтому мы вправе предположить, что первая гармоника является доминирующей в наблюдаемом прогибе. Экспериментально это подтверждается, но опыты не подтверждают другого вывода, подсказываемого § 469, о том, что при
прогиб в среднем сечении может быть сколь угодно большим. На рисунке 112 схематически показана последовательность деформаций для первоначально искривленного в форме одной полуволны синусоиды стержня, подвергающегося действию постоянно возрастающей осевой силы сжатия. Мы видим, что прогиб в середине достигает максимального значения тогда, когда концы стержня удалены друг от друга на некоторое малое расстояние. Если опыт продолжать также после того, как концы стержня пройдут
один мимо другого, то с ростом нагрузки прогибы начнут уменьшаться, асимптотически приближаясь к нулю (предполагается, что материал не переходит за предел пропорциональности).
472. Причина противоречий между теоретическим выводом и экспериментом, как можно ожидать, заключается в том, что в теории для прогибов любой величины используется верное только для малых выражение кривизны оси стержня, а именно
Рис. 112.
Вернемся к § 466, в котором рассматривались только первоначально прямые стержни, и заметим, что когда прогиб у велик, как, например, на рис. 113, то уравнение (1) нужно заменить следующим:
где через
обозначено расстояние рассматриваемого сечения от некоторого фиксированного сечения, измеренное по оси стержня, а через
угол наклона оси стержня к линии действия силы.
Таким образом:
Продифференцировав уравнение (1) по
воспользовавшись (II), мы получим уравнение, определяющее деформированную ось стержня (эластику)
473. Уравнение (20) по форме совпадает с уравнением свободных колебаний математического маятника.
Умножим его на 2, проинтегрируем и получим:
где через а (см. рис. 113) обозначен угол, под которым ось стержня пересекает линию действия силы. Из последнего равенства можно видеть, что так же, как в уравнении (I) обращается в нуль при
Рис. 113.
Разделив на В, имеем:
Положим:
Из (21) получим:
или, умножив обе части этого уравнения на
В точке А (рис. 113)
а поэтому
в точке В прогиб достигает максимального значения и, следовательно,
Отсюда, если
измеряется от точки А в направлении, для которого
отрицательны для малых значений и.
Таким образом в равенстве (23) нужно взять минус. Мы имеем:
Мы получим длину оси стержня от точки
до точки В (половину длины всего стержня), если верхний предел интеграла возьмем равным нулю. Обозначая длину стержня через 1, имеем:
где
является «полным эллиптическим интегралом первого рода». Вычитая (I) из (24), получаем:
где
является «эллиптическим интегралом первого рода» с «модулем» k и «амплитудой»
.
474. Так как
согласно (22) и (23), имеем:
(из двух возможных знаков, как и раньше, берется минус).
Нижний предел интегрирования нужно взять равным
т. е. значению
в сечениях (например А на рис. 113), для которых у равен нулю. Итак,
Прогиб в середине, при
будет
Наконец, расстояние между сечениями
на рис.
измеренное по линии действия силы, будет:
Следовательно, расстояние
между двумя последовательными точками перегиба оси стержня можно определить из такого соотношения:
Последнее равенство имеет место согласно (23), где, как и раньше, из двух возможных знаков берется минус.
Подставив
как функцию
мы получим:
Значение К объяснено выше, а
называется «полным эллиптическим интегралом второго рода».
475. Теперь можно вычертить истинную зависимость прогиба в среднем сечении (8) от осевой силы сжатия
для стержня, изогнутого так, как показано на рисунке 112. Из (24) мы имеем:
а из (24) вместе с (27):
Опираясь на эти соотношения и используя таблицы эллиптического интеграла
легко проследить, как
зависит от
Таблица составлена следующим образом. Первый столбец дает угол наклона оси стержня на концах к линии действия силы; второй — зависимость А от а [см. (22)]; третий —