Чистый изгиб цилиндрических стержней или балок

164. Теперь изучим изгиб — крайне важный для инженера-строителя вид деформации. Возьмем простейший случай, а именно, цилиндрический стержень (например, прокатная стальная балка), подверженный действию моментов на концах, вызывающих изгиб, и свободный от других видов усилий. Мы установим, что в этом случае не нужно накладывать ограничения (как в задаче о кручении) на форму поперечного сечения.

На первых этапах изучения мы можем предположить, что изгиб вызван любым способом. Так, мы можем сделать наиболее простое предположение, представив себе, что балка имеет большую длину и изгибается в замкнутое круглое кольцо так, что концевые сечения приводятся в соприкосновение. Если теперь поперечные сечения концевых сечений скрепить вместе, то все внешние силы можно удалить, и мы получим кольцо, поверхность которого совершенно свободна от напряжений. Таким образом, мы имеем пример тела с начальным напряжением (см. § 83, гл. III). Соображения симметрии показывают, что плоские сечения, перпендикулярные оси недеформированной балки, после деформации будут также плоскими, и их плоскости будут содержать ось кольца.

165. Пусть — длина балки, до того как она была изогнута в круглое кольцо, и пусть На рис. является осьюкольца, а —сечением кольца плоскостью, содержащей Начало координат помещено в какую-нибудь точку О, принадлежащую этой плоскости и находящуюся на расстоянии от оси Ось проведена параллельно, а ось перпендикулярно оси кольца Положительное направление по оси взято в сторону, противоположную Точка принадлежащая поперечному сечению кольца и определяемая координатами х и у, будет находиться на расстоянии от Точки, соответствующие в других поперечных сечениях, расположатся на окружности радиуса

Длина этой окружности В недеформированной балке эти точки лежали на отрезке, направленном по длине балки, и длина его была Следовательно, при изгибе эта длина изменяется на величину;

Ее относительное удлинение равно или т. е. мы имеем:

где через обозначено продольное удлинение балки.

Рис. 50.

166. Предположив, что это продольное удлинение вызывается простым продольным напряжением мы можем написать, что

где и представляют собой нормальные напряжения, имеющие направления Но надо подчеркнуть, что соотношения (13) основываются на дополнительном предположении и не являются необходимым выводом из (12). На самом деле, согласно (3) главы IV, мы имеем:

т. е. какие-нибудь два напряжения из трех можно было взять произвольно. Позже мы увидим, что сделанное выше предположение может быть оправдано соображениями минимуме упругой энергии».

167. Возьмем для выражение (13) и исследуем результирующее усилие, вызываемое этим комлонентом напряжения. Ясно, что по сечению, показанному на рис. 50, не может действовать результирующая растягивающая сила, так как такая же сила должна была бы действовать в каждом

другом сечении, внешней же силы для сохранения равновесия нет. Поэтому мы имеем условие

где через обозначен элемент площади поперечного сечения. Интегрирование распространяется на всю площадь поперечного сечения.

Подставляя из (13), мы получим, что

а это значит, что ось должна проходить через центр тяжести поперечного сечения Обозначим центр тяжести поперечного сечения через О и вместо наших прежних осей возьмем оси (см. рис. 51). Выражения (13) сохраняются, и мы получаем, что в результате изгиба линия, проходящая через центры тяжести поперечных сечений, не испытывает ни растяжения, ни сжатия. Продольное напряжение обращается в нуль во всех точках оси которая в силу этого называется нейтральной осью.

Рис. 51.

168. Вычислим изгибающий момент, т. е. суммарный момент относительно вызываемый напряжением Обозначим его через и получим:

После подстановки из (13) имеем:

где

т. е. геометрический момент инерции площади поперечного сечения относительно оси проходящей через центр тяжести поперечного сечения и перпендикулярной плоскости изгиба.

Уравнение (15) дает выражение для кривизны оси балки как функции приложенного изгибающего момента Исключая из (13) и (15), мы можем для получить формулу

которая показывает, что распределение продольного напряжения не зависит от упругих свойств материала балки.

169. Напряжение является чисто продольным, и, следовательно, его суммарное действие может состоять только из продольной силы растяжения (или сжатия) и из момента около некоторой оси, лежащей в плоскости поперечного сечения. В § 167 мы убедились в том, что результирующая сила равна нулю, а для момента относительно мы получили выражение (9). Для того чтобы этот момент мог быть результирующим усилием в поперечном сечении, момент около (рис. 51) должен равняться нулю. Для момента относительно в соответствии с (I) мы имеем:

После подстановки из (13) мы получим, что

Отсюда, для того чтобы могло быть нулем, мы должны иметь

Другими словами, оси должны быть главными осями инерции поперечного сечения.

Условие (18), очевидно, будет удовлетворено тогда, когда сечение симметрично относительно На самом деле, тогда каждой элементарной площадке содержащей точку

с координатами будет соответствовать равная площадка содержащая точку с координатами и поэтому эти две площадки при суммировании (или интегрировании) в формуле (18) уничтожатся. Аналогичное доказательство применяется и тогда, когда поперечное сечение симметрично относительно оси Сечения, не симметричные относительно или должны быть исследованы специально.