Применение Ден-Гартогом способа мыльной пленки
412. С помощью оптического метода можно получить только разность главных напряжений и их направление. Для полноты экспериментальных исследований напряжений в плоской задаче мы должны описать некоторый метод, с помощью которого, не прибегая к изложенной выще теории, мы могли бы найти сумму главных напряжений.
Поперечное сжатие листа материала (например с) зависит от суммы главных напряжений. Если с известно, то можно вычислить сумму главных напряжений, так как:
Для этой цели Кокером и другими были изобретены специальные экстензометры. Наиболее удобный метод предложил Ден-Гартог. В основе его метода лежит тот факт, что сумма главных напряжений представляет собой гармоническую функцию переменных X к у. Это можно установить из содержания § 275 главы VIII и уравнений (21) § 407. В § 275 было показано, что величина 
является инвариантом по отношению к ортогональному преобразованию координат.
(кликните для просмотра скана)
Отсюда и вытекает, что в любой задаче плоского напряженного состояния, т. е. когда компонент 
равен нулю, сумма главных напряжений равна:
и является гармонической функцией двух переменных, так как X удовлетворяет уравнению (23).
В главе XI (§§ 387 — 388) мы установили, что (малый) прогиб растянутой мембраны является гармонической функцией двух переменных. Там же мы показали, как этот факт может быть использован в опытах с мыльными пленками.
Таким образом, если мы знаем величину суммы напряжений в каждой точке граничного контура, то мы можем использовать опыт с пленкой для того, чтобы определить значение этой суммы в каждой внутренней точке. В большинстве задач (например в задаче, к которой относится рис. 105) мы знаем величину суммы напряжений в некоторых частях контура, а относительно других частей контура, свободных от напряжений, мы знаем, что одно из главных напряжений — нуль, т. е. для этих частей сумма напряжений и разность напряжений тождественны. Следовательно, в таких задачах, из оптических наблюдений, пополненных теоретическими соображениями, можно получить граничные значения для суммы напряжений. Как последний этап решения, мы должны провести опыт с мыльной пленкой.
Теперь мы решим несколько задач чисто аналитическим методом.
