Кручение тонкостенных круглых труб

155. В §§ 119—121 главы IV мы исследовали касательное напряжение и сдвиг. Мы видели, что касательное напряжение интенсивности приложенное к граням прямоугольного кубика, вырезанного из тела, изменяет углы кубика, по не меняет длин ребер. Величина, на которую изменяются первоначально прямые углы, равна

где С — модуль сдвига материала.

При упомянутом исследовании мы рассматривали кубик, имеющий некоторые определенные пропорции, но очевидно, что выводы сохранятся и для любого прямоугольного параллелепипеда, вырезанного из тела. Следовательно, тонкий прямоугольный лист материала (рис. 47а), стороны которого подвержены действию касательного напряжения интенсивности деформируется и приобретет вид, примерно изображенный на рис. (где деформации сильно преувеличены). Боковые плоскости листа свободны от напряжений.

156. Теперь представим себе, что пластинка (при действии касательных напряжений) согнута в круглую трубу (рис. так, что стороны и становятся окружностями, лежащими в параллельных плоскостях. Так как ширина деформированной пластинки (рис. 47b) постоянна, то стороны

и можно привести в соприкосновение по всей их длине. Они примут форму крутой винтовой линии (т. е. винтовой линии с большим шагом), лежащей на поверхности круглой трубы.

Рис. 47. (см. скан)

Касательные напряжения, приложенные к ним, действуют в противоположных направлениях, и, следовательно, можно скрепить вместе и убрать внешние силы, вызывающие эти касательные напряжения. Таким образом, мы будем иметь замкнутую круглую трубу, с приложенными на каждом из ее концов касательными напряжениями (интенсивности д) и со свободными от напряжений внутренней и внешней поверхностями.

Если ненапряженная пластинка (рис. 47а) будет изогнута подобным же образом (рис. 47с), то она примет форму круглой трубы тех же размеров. Однако эта труба будет отличаться от прежней тем, что скрепленные стороны и дадут прямую, параллельную оси трубы (образующую кругового цилиндра). Теперь мы можем сказать, что нам известно деформированное состояние, возникающее в тонкостенной трубе тогда, когда на ее свободных краях приложены касательные напряжения постоянной интенсивности.

Мы видим, что: (а) размеры трубы не меняются (так как стороны прямоугольной пластинки не удлиняются в результате действия касательных напряжений);

(Ь) образующие недеформированной трубы (т. е. прямые, параллельные оси) превращаются в крутые винтовые линии, имеющие постоянный наклон к образующим деформированной трубы;

(с) круговые сечения трубы, в результате деформации, поворачиваются одно относительно другого.

157. Величину поворота (с) легко вычислить. Обратившись к рис. мы видим, что прямая (перпендикуляр к является образующей деформированной трубы, а прямая взятая на расстоянии I от передвигается при деформации относительно на расстояние или В трубе это перемещение будет направлено по окружностям поперечного сечения, т. е. будет вызывать поворот сечения, содержащего относительно сечения, содержащего на угол где радиус трубы. Подставив у из (6), мы получим

и видим, что пропорционально Таким образом, - угол поворота на единицу длины постоянен. Практически угол 6, подобно углу очень мал.

158. Обозначив через мы можем взять

за выражение для касательного напряжения на концах трубы.

Это напряжение должно вызываться внешними силами. Площадь поперечного сечения трубы равна Касательное напряжение в каждой точке поперечного сечения мало) относительно оси трубы действует на «плече» , отсюда следует, что результирующее усилие внешних сил является моментом величины:

Геометрический момент инерции поперечного сечения относительно оси трубы равен Обозначим его (это «полярный момент инерции») через Теперь мы можем написать

Исключив С из соотношений (7) и (8), мы получим:

Далее можно найти выражение для упругой энергии, запасенной единицей длины трубы. Торцы, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном единице длины, поворачиваются один относительно другого на величину Этот относительный поворот является перемещением, «соответствующим» приложенному моменту Следовательно, искомое выражение будет:

Мы можем получить тот же результат другим путем, подставив в (15) главы из (7) и (9) настоящей главы.