Графические методы решения

182. Предыдущие уравнения (согласно приближенной теории) имеют место независимо от того, будет ли жесткость при изгибе заданной функцией х или постоянной величиной. В общем случае чисто аналитическими методами они не интегрируются, и приходится прибегать к различным приближенным способам. Например «методы релаксации» дают один очень удобный прием (Rel. М. гл. X). Изложим графическое построение которое можно использовать тогда, когда (как это часто случается) аналитически не заданы. Записав уравнение (3) в виде

и сравнив (8) с (5), мы заметим, что зависимость между та же, что и зависимость между у и величиной Для построения эпюры изгибающего момента, соответствующей некоторому заданному распределению интенсивности поперечной нагрузки, можно воспользоваться знакомым геометрическим построением - «веревочным многоугольником». Для построения кривой прогиба у, если считать у «фиктивным изгибающим моментом», связанным с «фиктивной нагрузкой» интенсивности на единицу длины, можно использовать то же самое построение.

183. Следует изучить только вопрос о масштабе, в котором на окончательной диаграмме изображаются прогибы. Удобнее всего рассмотреть его в связи с масштабом для эпюры изгибающего момента, полученной для

При построении эпюры изгибающих моментов с помощью «веревочного» многоугольника мы фактически изображаем (в уменьшенном масштабе) некоторую конструкцию, находящуюся в равновесии под действием заданных сил. Эта конструкция состоит или (как на рис. 57, а) из нити, на

которой подвешены заданные грузы, или (как на рис. из стержней, образующих ломаную и связанных идеальными шарнирами, к которым приложены заданные силы. В первом случае для равновесия нужно, чтобы горизонтальная составляющая натяжения нити имела бы одно и то же значение в каждой точке. Прямой замыкающий стержень не дает сближаться концами нити друг с другом. Сила сжатия в стержне (который не подвержен действию изгибающих усилий, так как присоединяется с помощью шарниров) имеет горизонтальную составляющую, по величине равную горизонтальной составляющей силы растяжения в нити. Во втором случае для равновесия нужно, чтобы на все стержни действовала одинаковая горизонтальная сила сжатия. Соединяющая шарниры на концах замыкающая нить дает стержням расходиться. Сила растяжения в нити имеет горизонтальную составляющую, равную по величине горизонтальной составляющей силы сжатия в стержнях.

В обеих конструкциях изгибающий момент в вертикальном сечении определяется поперечной нагрузкой и

Рис. 57.

реакциями от нее в опорах. Он будет уравновешиваться противодействующим моментом со стороны конструкции, а этот момент измеряется произведением Н (постоянной) горизонтальной составляющей силы растяжения в нитях или силы сжатия в стержнях на расстояние до замыкающей в рассматриваемом сечении, т. е. мы имеем:

Изгибающий момент пропорционален ординате веревочного многоугольника.

При обычном построении на чертежной доске для горизонтальных расстояний используют уменьшенный масштаб, (скажем, ). Очевидно, что вертикальные размеры чертежа уменьшаются в том же отношении, так что отрезок будет представлен отрезком на диаграмме и

Комбинируя (I) и (II), мы видим, что масштаб построенной на чертежной доске эпюры изгибающего момента будет тем же, что и масштаб отрезка представляющего изгибающий момент

т. е. 1 см будет представлять изгибающий момент кгсм, если будет горизонтальной силой сжатия в Фактически задают когда уславливаются о масштабе, который хотят использовать для эпюры изгибающего момента.

N можно выбрать так, чтобы эпюра имела удобные размеры. Этим мы зафиксируем Теперь мы будем знать горизонтальную силу сжатия (или растяжения), изображаемую полярным расстоянием многоугольника сил (см. рис. 57). Мы можем приступить к построению, если заменим поперечную нагрузку конечным числом сосредоточенных сил, каждая из которых представляет (по величине и линии действия) результирующую сил, действующих на элемент длины пролета. Масштаб диаграммы сил произволен: его обычно выбирают так, чтобы получить удобный по размерам силовой многоугольник,

184. Обратимся теперь к уравнению (8), в котором фигурирует «фиктивная» нагрузка Она аналогичным образом заменяется конечным числом фиктивных сосредоточенных «сил», каждая из которых представляет (как по величине, так и по направлению) результирующую «нагрузки» на элементе длины. Рассматриваемые как «силы» величины в действительности не имеют размерности (т. е. они отвлеченные числа), так как и числитель и знаменатель дроби

имеют одинаковую размерность, а именно:

Поэтому фиктивная горизонтальная сила сжатия или растяжения будет также отвлеченным числом и, очевидно,(фиктивный изгибающий момент) будет иметь размерность длины. В соответствии с уравнением (9) мы имеем соотношение

отрезок на нашей новой эпюре, представляющий прогиб у. как и раньше, отношение, в котором уменьшаются на чертежной доске горизонтальные длины. Таким образом, имеем масштаб: 1 сантиметр соответствует прогибу в сантиметров.

В большинстве задач действительные прогибы будут малы, и при наших построениях их нужно будет увеличивать. Это означает, что нужно давать дробное значение так, что в общем будет представлять собой довольно малое число. Например, если (так что горизонтальный масштаб чертежа равен к и если прогибы желательно увеличить в десять раз, то

и мы имеем

Вследствие больших значений В будут также малы вертикальные «силы» типа (III).

Многоугольник фиктивных «сил» будет иметь произвольные размеры. Его масштаб, как и масштаб многоугольника настоящих сил (§ 183), зависит от нашего выбора.