Задача Сен-Венана
333. Сначала рассмотрим напряжения, вызванные в цилиндрическом теле перерезывающим и крутящим усилиями, являющимися следствиями сосредоточенной поперечной силы, приложенной на одном из его концов. В основном мы будем следовать рассуждениям Сен-Венана. Однако мы используем условия совместности деформаций и а priori приведем оправдание наших предположений, воспользовавшись принципом, установленным в § 92 гл. III. Последний заключается в том, что тела, подчиняющиеся закону Гука, всегда стремятся принять в условиях рассматриваемой задачи конфигурацию, соответствующую минимальной упругой энергии.
Для удобства выпишем здесь уравнения равновесия:
и уравнения совместности деформации:
334. Ось направим по прямой, параллельной образующим цилиндра. Заметим, что компонентами напряжения, которые могут давать изгибающий или крутящий моменты или перерезывающую силу, являются 
Компоненты 
не оказывают влияния на эти усилия и приводят к увеличению упругой энергии. Отсюда, согласно принципу минимума упругой энергии, мы можем заключить, что эти компоненты напряжения равны нулю, если только они не необходимы для удовлетворения уравнений равновесия в напряжениях или граничных условий.
Предположение о том, что в каждой точке:
требует, чтобы цилиндрическая поверхность была свободна от напряжений. Если мы подставим (3) в уравнения равновесия в напряжениях (1), то увидим, что они сводятся к
и
Уравнения (4) требуют, чтобы результирующая перерезывающая сила не зависела от координаты z. Воспользовавшись этим, мы из (5) получим:
Осталось исследовать, можно ли из решений уравнений (4) — (6) получить практически полезный результат, т. е. проверить, удовлетворятся ли уравнения совместности деформации.
335. Очевидно, что уравнение (6) требует, чтобы перерезывающая сила была постоянной, так как только такая сила сопровождается линейным распределением изгибающего момента, являющегося следствием 
Обратимся к условиям, налагаемым уравнениями совместности (2). С помощью (3) мы получим, что:
Из (I) и (6) следует, что
Из (4) мы имеем:
а из (5)
Используем (II), (III) и (IV) для того, чтобы упростить первые три уравнения (2). Мы получим:
А это вместе с третьим из условий (III) показывает, что наиболее общая форма 
будет:
Наконец, подставив (8-) и (I) в последние три уравнения (2), мы получим:
Все решения, совместные с нашими начальными предположениями (§ 334), определяются формулами (8) и (9).
