Простые и статически неопределимые фермы

97. Пусть число стержней, число узлов в ферме. Тогда, в общем случае пространственной фермы в силу того, что под действием сил, приходящихся на узел как извне, так и от усилий в тех стержнях, которые пересекаются в нем, каждый из узлов должен быть в равновесии, мы можем написать условий равновесия статики. Но эти условия не все независимы, потому что внешние силы сами по себе должны образовать систему, находящуюся в равновесии. Следовательно, условий связаны шестью условиями равновесия системы внешних сил. Число независимых уравнений равно Оно будет как раз достаточным для определения усилий в каждом стержне, если будет выполняться равенство

Ферма, в которой усилия можно определить таким путем, т. е. с помощью чисто статических соображений, называется простой фермой. Ферма, для которой такое определение невозможно, называется статически неопределимой. Очевидно, (14) является необходимым условием «простоты» фермы. Ферма обязательно будет статически неопределимой, если Число

называется степенью статической неопределимости фермы.

С другой стороны, легко видеть, что (14) не является достаточным условием «простоты» фермы. Так, например,

мы можем представить себе, что один дополнительный узел присоединен к ферме с помощью двух стержней, так что сохраняется одна степень свободы. Пусть до присоединения этого узла ферма имела степень статической неопределимости, равную 1. После добавления узла уравнение (14) будет удовлетворяться, а усилия в стержнях не будут статически определимыми. Лучшим критерием «простоты» (достаточным, но не необходимым) является возможность составления фермы на тетраэдре как на ядре (4 узла и 6 стержней) путем добавления каждого нового узла с помощью трех и не большего числа стержней. При этом на каждом этапе процесса условие (14) удовлетворяется).

Когда схема фермы целиком лежит в одной плоскости, как, например, в случае стропильной фермы, ферма называется плоской. Рассуждением, аналогичным данному выше, мы можем показать, что в этом случае для того чтобы ферма была статически определимой, должны быть связаны уравнением

Число

является степенью статической неопределимости плоской фермы.

Вследствие того, что растянутые стержни, по сравнению с сжатыми, не вызывают дополнительных осложнений, фермам часто придают форму параллелепипедов с двумя пересекающимися диагональными стержнями, каждый из которых может сопротивляться растяжению, но не сжатию. Два диагональных стержня заменяют один диагональный стержень, способный противостоять и сжатию и растяжению. В таких случаях соответствующая формула (15) или (17) указывает на ббльшую, чем та, которая имеется в действительности, степень статической неопределимости, потому что вообще при частной системе нагрузок работает только одна из двух диагоналей. Поэтому фермы, подкрепленные таким образом.

называются псевдостатически неопределимыми. При вычислении напряжений такие фермы требуют специальных исследований.