Главные напряжения и главные плоскости напряжений

276. Теперь мы постараемся обобщить выводы § 136 главы IV. Установим следующую теорему:

Каково бы ни было напряженное состояние, всегда существуют три взаимно перпендикулярные плоскости, на которых касательные компоненты напряжения равны нулю, а нормальные компоненты имеют стационарные значения (максимум, минимум или минимакс). Плоскости, о которых идет речь, называются главными плоскостями

напряжений, а нормальные напряжения на них называются главными напряжениями.

Это основная теорема теории напряжений. Из нее следует, что, когда направление главных плоскостей безразлично (а это случается часто), любое общее напряженное состояние будет известно, если задать значения трех главных напряжений. Для того чтобы в общем случае полностью характеризовать напряженное состояние, мы должны, конечно, определить направления главных плоскостей. Для этого мы должны фиксировать еще три величины, а именно, два независимых направляющих косинуса, определяющих первую плоскость, и один, определяющий вторую плоскость.

В § 267 мы «задавали» напряженное состояние девятью компонентами (4), потом число их с помощью соотношений (5) уменьшилось до шести. Итак, мы видим, что согласно обоим способам мы будем знать напряженное состояние, если зададим шесть величин.

277. Выражение для нормального напряжения на плоскости, перпендикулярной а именно

показывает, что является функцией в которую входят заданные (и, следовательно, независимые) величины Направляющие косинусы не независимы, так как они удовлетворяют соотношению

Таким образом, мы можем рассматривать в соотношении как независимые переменные, которым можно давать произвольные значения, и будут функциями

Продифференцируем (1) по считая функций от

Далее, когда принимает стационарное значение, мы должны иметь

Воспользовавшись равенствами (5), мы можем условия (III) написать следующим образом:

и

Исключив из них с помощью (II) производные, мы как эквивалентные условия получим уравнения:

а они, согласно (7), эквивалентны следующим уравнениям:

Уравнения (10) весьма легко интерпретировать. Они показывают, что на той плоскости, где имеет стационарное значение, компоненты результирующего напряжения по направлениям пропорциональны т. е. направляющим косинусам плоскости. Отсюда следует, что результирующее напряжение на такой плоскости является чисто нормальным. Мы видим, что это чисто нормальное напряжение и является тем главным напряжением, которое определялось в § 276. Интенсивность его равна:

278. Покажем, что главные плоскости действительно существуют. Для этого запишем (V) в форме

не могут обращаться в нуль одновременно, и мы должны иметь

Это кубическое относительно уравнение. Все коэффициенты его действительны. Следовательно, оно имеет, по крайней мере, один действительный корень, откуда вытекает, что всякое возможное напряженное состояние имеет, по крайней мере, одно главное напряжение (скажем, Подставив вместо в (VI), мы определим направление, соответствующее одной главной плоскости.

Возьмем новые оси координат. Направим новую ось по направлению главного напряжения которое, как мы только что показали, существует. Значения компонентов напряжения изменятся так, как изменились оси. Согласно нашему выбору оси мы будем иметь:

будут тоже иметь новые значения, и уравнения (VI) в новых осях запишутся так:

Откуда мы имеем или уже найденное решение:

или

вместе с

Исключив из уравнений мы найдем, что в оставшихся решениях должно удовлетворять уравнению

Корни этого уравнения суть:

т. е. оба действительны. Таким образом мы всегда можем найти еще две главные плоскости, которые согласно (VIII) будут перпендикулярны первой.

Выберем ось так, чтобы она была перпендикулярна плоскости главного напряжения Тогда, согласно этому предположению, в добавление к (VII), мы будем иметь:

Уравнения примут форму:

откуда мы получим или решение, найденное раньше:

или

вместе с

Из (XII) мы видим (так как ), что плоскости перпендикулярны между собой и перпендикулярны плоскости Таким образом, теорема § 276 доказана.