РЕЗЮМЕ

407. Если массовые силы не действуют то изложенная выше теория сильно упростится. При отсутствии массовых сил в случае плоской деформации мы для компонентов напряжения имеем следующие выражения;

и

Функция X в этих выражениях зависит только от х и у и удовлетворяет уравнению:

В случае плоского напряженного состояния для компонентов напряжения имеем те же выражения (21),

а компоненты всюду равны нулю. Только теперь из формулы (18) мы имеем:

где, согласно (19),

является гармонической функцией потому X опять удовлетворяет уравнению (23).

408. Если массовые силы не действуют, то в случае плоской деформации компоненты няпряжения являясь вторыми производными по и от функции X, не зависят от в случае плоского напряженного состояния в них войдут члены с То же самое имеет место и тогда, когда массовые силы действуют. Это значит, что плоское напряженное состояние не может существовать, когда граничные напряжения (приложенные к краю пластинки) не зависят от так как этого требует наше решение.

Однако это замечание не обесценивает наши результаты. На самом деле мы можем привлечь принцип Сен-Венана и с его помощью показать, что напряженное состояние в удаленных от краев пластинки частях определяется результирующим усилием на каком-нибудь из элементов края, а не точным распределением усилий по малой толщине пластинки на краю. Различные распределения усилий по краям в их непосредственной близости вызывают различные напряжения, однако на некотором расстоянии от края (большем, чем двойная или тройная толщина пластинки) эта разница становится неощутимой. Более того, члены с в компонентах напряжения дадут члены с в результирующем усилии, и влияние последних будет крайне мало, если пластинка достаточно тонкая.

409. Таким образом можно сказать, что задачи, касающиеся плоской деформации и плоского напряженного состояния, математически тождественны в тех случаях, когда в задачах и того и другого рода массовые силы не действуют, а на поверхности тела заданы напряжения. В обоих случаях мы должны найти такое решение уравнения (23), производные

которого на границе тела удовлетворяют определенным заданным условиям [см. соотношения (21)]. Если массовые силы действуют, то соотношения (21) заменяются соотношениями (7), а уравнение (23) уравнением (8) или (20), в зависимости от того, имеем ли мы дело с плоской деформацией или с плоским напряженным состоянием. Заметим, что и теперь, если только потенциал массовых сил удовлетворяет уравнению типа (15), уравнения (8) и (20) будут иметь одинаковую форму. Таким образом мы опять приходим к заключению, что упомянутые задачи математически эквивалентны, только в их уравнения будут входить разные постоянные. Определенные с помощью полученной функции напряжений деформации, а следовательно, и смещения в обоих случаях будут, конечно, различными. Ведь компонент равен нулю в случае плоского напряженного состояния и имеет отличное от нуля значение в случае плоской деформации. Отсюда следует, что задачи будут в общем различны, если на поверхности тела будут заданы смешения, но деформации и смещения обычно имеют малое практическое значение.

Ниже мы рассмотрим только те задачи, в которых задаются граничные напряжения.