Точность графического метода. Соответствующий числовой метод
190. До сих пор мы не проводили оценки той точности, которая получается при построении веревочного многоугольника. Рассмотрим этот вопрос, основываясь на «безразмерном» решении §§ 187— 188.
Рис. 59.
Мы увидим, что для выполнения той же операции (приближенного двойного интегрирования) можно указать простой числовой процесс. В теории оба метода (будучи полностью эквивалентными) дают одну и ту же ошибку, но в практике графическое построение имеет недостаток. Так, когда линии пересекаются под очень тупым углом — как должно быть в веревочном многоугольнике, если пролет (ради точности) разделен на много частей, — трудно точно установить их точку пересечения, так как линия, проведенная карандашом, имеет конечную (хотя и малую) толщину. В числовом процессе такой ошибки нет.
Предположим, что в «безразмерном» решении мы разделим пролет (представленный единицей) на равные части, каждая из которых представляет числовую величину 
Из соображений, аналогичных соображениям предыдущих параграфов, легко видеть (ошибками при вычерчивании пренебрегаем), что при построении веревочного многоугольника мы должны получить ломаную с высотами 
в сечениях под номерами 
Смотри рис. 59, где 
наклона хорды 
угла наклона хорды 
последнее равенство имеет место в силу построения, так как в силовом многоугольнике 
является треугольником сил для равновесия сосредоточенной силы, действующей в сечении 2. Но эта сила, если 
мал, будет очень хорошо представляться произведением 
где 
обозначает интенсивность нагрузки 
соответствующую сечению 2. Таким образом (I) эквивалентно
здесь 
взято равным единице, поэтому 
не содержит множителя.
Сравнив (II) с 
§ 187 (т. е. с уравнением, для интегрирования которого производится это построение), мы увидим, что неточность нашего метода в том, что мы 
заменяем через 
и аналогично поступаем с 
Если через точки веревочного многоугольника провести непрерывную кривую, то можно принять, что соотношение, аналогичное (II), будет иметь место в каждой точке. При таком предположении кривая дает искомую функцию 
с ошибкой, вызванной заменой выражения
Вторую из величин (III) можно разложить в ряд Тейлора, и мы получим:
Следовательно, при построении, заменяющем ее через 
пренебрегают членами четвертого порядка по А и выше и
удерживают члены порядка 
Это и есть ошибка, присущая методу веревочного многоугольника; ошибка при вычерчивании не учитываются.
