Упругая энергия изогнутого стержня или арки

46. Теперь рассмотрим некоторые другие приложения первой теоремы Кастилиано. Для этой цели нам придется использовать некоторые результаты относительно деформаций, вызываемых изгибающими усилиями. Эти результаты вытекают из исследований, которые приводятся несколько позже. В этом отношении мы поступаем здесь так же, как (§§ 38—39) при изучении действия сил растяжения и сжатия.

Начнем с того, что рассмотрим упругое тело в виде прямого цилиндрического бруса (рис. 16 А), на который могут действовать моменты от абсолютно жестких шайб прикрепленных к торцам. Нагрузка такого типа уже рассматривалась в § 30 главы Там было показано, что два равных и противоположно направленных момента (рис. 165), образующих изгибающее усилие, можно считать обобщенным типом «сил», если в качестве «соответствующего перемещения» взять относительный поворот на рисунке). На основании закона Гука угол поворота будет пропорционален так что мы можем написать

где а — коэффициент влияния (гл. I, § 4).

Упругая энергия, запасенная в теле, если оно под действием изгибающего момента находится в равновесии, будет даваться следующими выражениями

47. Если цилиндр достаточно длинный, то ясно, что моменты на концах могут согнуть его в полное круговое кольцо.

Рис. 16.

Тогда каждая часть кольца будет находиться в том же напряженном состоянии, что и цилиндр, показанный на рис. 16. Отсюда видно, что угол поворота для данного будет пропорционален длине недеформированного цилиндра. Тогда из (I) следует, что а — коэффициент влияния будет также пропорционален Если дуга на рис. имеет длину, равную и если радиус этой дуги, то мы можем записать, что

а тогда из (I) мы получим, что

Поэтому первое равенство (II) можно записать в форме

и упругая энергия на единицу длины цилиндра будет

где пропорционально например

Постоянная В называется «жесткостью при изгибе» цилиндра.

Исключая из (III) и (IV), мы для упругой энергии изгиба на единицу длины цилиндра получим

48. Исследования, проводимые ниже покажут, что жесткость цилиндра при изгибе, когда цилиндр изгибается указанным здесь способом (моменты приложены на концах), дается соотношением

где - модуль Юнга, а - геометрический момент инерции площади поперечного сечения относительно оси, проходящей через его центр тяжести и перпендикулярной плоскости изгиба. Наиболее важно то, что упругая энергия изгиба дается тем же выражением (14) при подстановке в него значения В из (15) не только тогда, когда изгиб является следствием действия моментов на концах (и поэтому один и тот же во всех частях стержня), но также, с достаточной для практических целей точностью, и тогда, когда величина изгибающего момента изменяется по длине стержня. Более того, выражение (14) верно даже тогда, когда поперечное сечение изменяется (степень изменения поперечного сечения не должна быть велика). Именно формула (14) приближенно остается верной для любого короткого участка стержня [В на этом участке в формуле (14) дается равенством (15)]. Применим формулу (14) к каждому малому участку длины подверженного изгибу стержня и получим, что полная упругая энергия длинного

изогнутого стержня (первоначально прямого) будет

где X — расстояние некоторого сечения от одного из концов, изгибающий момент в этом сечении, а общая длина стержня.

Другими словами, формула (16) точна для прямых цилиндрических стержней постоянного сечения, нагруженных моментами на концах (как на рис. 16). И точность этой формулы достаточна для обычных целей техники, когда изменяются вместе с х (только степень изменения и 5 не должна быть слишком велика).

Мало того, (14) сохраняется приближенно также для первоначально искривленных стержней, только тогда х следует заменить на — расстояние сечеиия от одного из концов, измеренное по недеформированной оси стержня (т. е. по линии, проходящей через центры тяжести поперечных сечений недеформированного стержня).

Итак, мы можем использовать общую формулу

как достаточно точную в большом числе случаев.

Наконец, следует заметить, что в задаче, где изгиб является преобладающим типом деформации, упругая энергия, запасаемая в теле вследствие нагрузок другого вида, бывает обычно малой по сравнению с упругой энергией изгиба. И в такого рода задачах мы можем для практических целей рассматривать формулы (16) и (17) как выражения полной упругой энергии