Температурные напряжения в длинном цилиндре круглого поперечного сечения

442. Неравномерное распределение температуры 6 по радиусу приводит к тому, что в обычных уравнениях появляются члены, представляющие собой фиктивные объемные силы.

В главе X (§ 326) мы видели, что эти объемные силы являются градиентом фиктивного потенциала (56 и что к контуру поперечного сечения цилиндра должно быть приложено фиктивное растяжение Затем, когда компоненты напряжения будут определены из полученных таким образом уравнений, из найденных нужно будет вычесть величину после чего мы получим значения истинных компонентов

напряжения. Напомним, чему равна постоянная :

Здесь К — модуль объемного сжатия, температурный коэффициент линейного расширения.

Определение как функции для какого-нибудь частного примера является задачей теории теплопроводности. Мы примем, что как функция нам известна. Предложенный здесь метод можно непосредственно применить к случаю плоской деформации, т. е. для длинной трубы или цилиндра, потому что теория (§§ 432—435) предполагает, что компонент продольного напряжения не равен нулю. Задача о температурных напряжениях в тонком круглом диске должна решаться с помощью основных соотношений. На самом деле предположение о том, что компонент должен быть всюду равен нулю, делает теорию плоского напряженного состояния неприменимой к этому случаю, так как здесь надо предполагать, что на боковых плоскостях диска действуют фиктивные нормальные напряжения

Примеры

7. (Camb. M.S. Т. 1933). Электрический ток нагревает проводник. Проводник имеет форму длинного цилиндра кругового поперечного сечения радиуса а. Количество теплоты, приобретаемое единицей объема проводника за единицу времени, постоянно. Можно показать, что возрастание температуры внутри проводника на каком-нибудь радиусе дается формулой где во — температура на поверхности, постоянная.

Пусть коэффициент линейного расширения. Предположив, что напряжения не превосходят предела пропорциональности и что нет внешних сил, стесняющих продольное или радиальное расширение, доказать, что распределение температуры вызывает следующие напряжения:

[Компоненты напряжения (неисправленные) определятся по формуле (58) после того как в них вместо будет подставлено Постоянным членом в 9 можно пренебречь. Следовательно, мы имеем задачу § 436, в которой заменяется на

Таким образом из формул (59) и (60), в которых, как и раньше В должно равняться нулю, мы имеем:

Прибавив к каждому из этих выражений, мы получим исправленные нужным образом компоненты напряжения. Если вместо поставить , а постоянную в третьем выражении выбрать так, чтобы продольное результирующее напряжение обращалось в нуль, то полученные для компонентов напряжения выражения вполне совпадут с данным выше ответом.]

8. (Camb. M.S.T. 1932). Имеем тонкий диск постоянной толщины радиуса Его боковые плоскости нагреваются в центре. Тепло распространяется к периферии таким образом, что температура на радиусе почти постоянна по толпшне и определяется следующим соотношением:

Показать, что если края диска ничем не стеснены, то радиальные и кольцевые сжимающие напряжения на радиусе определяются соответственно такими формулами:

где А — температурный коэффициент линейного расширения.

Тот же диск вставлен в жесткое кольцо из того же материала. Когда температура диска постоянна, он свободно входит в кольцо. Тепло передается так же, как и раньше. Кольцо принимает постоянную температуру но не испытывает заметных деформаций вследствие возникающих напряжений.

Показать, что радиальное сжимающее напряжение в диске на радиусе теперь будет:

где коэффициент Пуассона. [Используя основные соотношения, имеем:

при