Главная > Введение в теорию упругости для инженеров и физиков
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Закон Гука и принцип суперпозиции

4. Закон Гука, которому в некоторых пределах подчиняется большое количество материалов, употребляемых в технике, был установлен Гуком в применении к какому-либо «пружинящему» телу. Закон утверждает (по современной терминологии), что перемещения пропорциональны силам, их производящим. Не ограничивая себя формой или размером нагружаемого тела, рассмотрим следствия этого очень общего утверждения. В качестве примера (чтобы конкретизировать представления) берем ферму, показанную на рис. 3.

Рис. 3.

Пусть сила приложена к точке 1. Под действием этой силы другая точка 2 переместится на некоторую величину, которая, согласно гипотезе, пропорциональна Мы не можем сказать заранее, каково будет направление этого перемещения, но каждая из его нескольких составляющих (согласно закону Гука) будет пропорциональна Отсюда, фиксируя внимание на вертикальной составляющей (которую мы будем обозначать мы можем сказать, что

где некоторая постоянная для рассматриваемого упругого тела величина. Эту постоянную мы будем называть коэффициентом влияния для вертикального перемещения в точке 2 силы, приложенной в данном направлении (направлении в точке 1. Очевидно, если сила была бы единичной, то величина была бы действительным значением вертикального перемещения в точке 2.

5. Согласно закону Гука соотношение (1) сохраняется при любом знаке Таким образом, сила, равная и противоположная будучи приложена в точке 7, вызовет перемещение равное и противоположное тому, которое вызывала сама сила приложенная в 1. Далее, если несколько сил, имеющих направление приложены одновременно в 1, то результирующее перемещение, вызванное ими в точке 2, будет равно сумме перемещений, которые вызвали бы, будучи приложены отдельно. Другими словами, эффект таких сил в отношении перемещений может быть найден «суперпозицией».

Сила приложенная в точке 8 в некотором данном направлении, как показано на рис. 3, также, вообще говоря, вызовет перемещение в точке 2. Если действует одна, то на основании закона Гука мы будем иметь второе соотношение, подобное (1), а именно

где обозначает, как и раньше, вертикальную составляющую перемещения, вызванного в 2 действием силы —постоянная (неизвестная), которую мы называем коэффициентом влияния для вертикального перемещения в точке 2 силы, приложенной в данном направлении (направлении в точке 3.

Теперь сам собой возникает вопрос: сохраняется ли принцип суперпозиции, который, как мы только что установили, имеет место для сил, имеющих общую линию действия и приложенных в одной и той же точке, также и для двух или большего числа сил, таких, как которые действуют в различных направлениях и в различных точках? Если вопрос решается положительно, то мы можем утверждать, что вертикальное перемещение в точке 2 под действием и приложенных одновременно, дается соотношением

и что аналогичные соотношения будут иметь место в случае действия на тело любого числа сил. Изучим этот вопрос.

Мы примем, на основании закона Гука, что приложенная в то время, когда действует, вызывает пропорциональный добавок к вертикальной составляющей перемещения

в точке 2. Мы также допустим, что коэффициент пропорциональности не имеет той величины, которую он имел бы, если действовала одна. То-есть, мы заменим соотношение (3) следующим:

Оно имеет место тогда, когда приложена после и нами допущена возможность того, что может быть отличным от

Теперь мы примем следующую последовательность действий:

(a) На упругое вначале ненагруженное тело (ферму) мы подействовали силой и получили перемещение, данное (1).

(b) Оставляя приложенной, мы подействовали силой Согласно нашему предположению, общее перемещение возрастет до величины, данной (4).

(c) Оставляя приложенной, мы удалим силу т. е. приложим силу — в точке 1. Закон Гука утверждает, что получающееся изменение будет пропорционально приложенной силе, но так как сила-Р, приложена, когда и уже действуют, и так как мы не предполагаем, что коэффициент пропорциональности тот же, каким он был бы, если сила-Р действовала одна, то мы должны обозначить его и допустить возможность того, что может быть отличным от и частично зависящим от

Таким образом для вертикального перемещения точки 2 после удаления силы будем иметь

(d) Удалим т. е. приложим силу в точке 3. Так как никакая другая сила в это время не действует, то коэффициент влияния будет равняться Итак, окончательное перемещение будет выражаться формулой

Теперь тело больше не подвержено действию внешних сил и поэтому (будучи упругим) вернется к своей

первоначальной фораме, окончательное перемещение, данное (5), должно обратиться в нуль. Следовательно, мы имеем равенство

Согласно сформулированному нами закону Гука не зависят от от Следовательно, мы имеем

где постоянная; теперь из (4), если закон Гука постулируется для всех типов нагрузки, мы видим, что должно быть нулем. Отсюда видно, что, если и возрастают одновременно и в одном и том же отношении, то тоже будет возрастать в том же отношении. Итак, мы установили принцип суперпозиции для любых двух сил.

Подобное же доказательство показывает, что величина коэффициента влияния третьей силы будет одной и той же, независимо от того, действуют другие две силы или нет, т. е. мы можем распространить наш принцип на любые три силы. По индукции мы можем доказать, что принцип суперпозиции сохраняется для любого числа каких-либо сил. Перемещение, вызванное в точке 2 некоторым числом сил будет даваться выражением вида

где «коэффициенты влияния», значения которых не зависят от порядка, в котором приложены силы. Заметим, что наше доказательство опиралось на два различных постулата. Первый: любая система нагрузок (взятые силы приложены в любом числе точек и в любых направлениях) вызывает определенное и пропорциональное силам перемещение в какой-нибудь точке (закон Гука). Второй:

тело, о котором идет речь, возвращается к своей первоначальной форме, после того как произвольная система приложенных сил удалена. Последний постулат можно принять как определение упругости. Очевидно, что эти постулаты образуют основу любой из тех теорем, которые мы впоследствии будем доказывать, пользуясь принципом суперпозиции.

1
Оглавление
email@scask.ru