Закон Гука и принцип суперпозиции

4. Закон Гука, которому в некоторых пределах подчиняется большое количество материалов, употребляемых в технике, был установлен Гуком в применении к какому-либо «пружинящему» телу. Закон утверждает (по современной терминологии), что перемещения пропорциональны силам, их производящим. Не ограничивая себя формой или размером нагружаемого тела, рассмотрим следствия этого очень общего утверждения. В качестве примера (чтобы конкретизировать представления) берем ферму, показанную на рис. 3.

Рис. 3.

Пусть сила приложена к точке 1. Под действием этой силы другая точка 2 переместится на некоторую величину, которая, согласно гипотезе, пропорциональна Мы не можем сказать заранее, каково будет направление этого перемещения, но каждая из его нескольких составляющих (согласно закону Гука) будет пропорциональна Отсюда, фиксируя внимание на вертикальной составляющей (которую мы будем обозначать мы можем сказать, что

где некоторая постоянная для рассматриваемого упругого тела величина. Эту постоянную мы будем называть коэффициентом влияния для вертикального перемещения в точке 2 силы, приложенной в данном направлении (направлении в точке 1. Очевидно, если сила была бы единичной, то величина была бы действительным значением вертикального перемещения в точке 2.

5. Согласно закону Гука соотношение (1) сохраняется при любом знаке Таким образом, сила, равная и противоположная будучи приложена в точке 7, вызовет перемещение равное и противоположное тому, которое вызывала сама сила приложенная в 1. Далее, если несколько сил, имеющих направление приложены одновременно в 1, то результирующее перемещение, вызванное ими в точке 2, будет равно сумме перемещений, которые вызвали бы, будучи приложены отдельно. Другими словами, эффект таких сил в отношении перемещений может быть найден «суперпозицией».

Сила приложенная в точке 8 в некотором данном направлении, как показано на рис. 3, также, вообще говоря, вызовет перемещение в точке 2. Если действует одна, то на основании закона Гука мы будем иметь второе соотношение, подобное (1), а именно

где обозначает, как и раньше, вертикальную составляющую перемещения, вызванного в 2 действием силы —постоянная (неизвестная), которую мы называем коэффициентом влияния для вертикального перемещения в точке 2 силы, приложенной в данном направлении (направлении в точке 3.

Теперь сам собой возникает вопрос: сохраняется ли принцип суперпозиции, который, как мы только что установили, имеет место для сил, имеющих общую линию действия и приложенных в одной и той же точке, также и для двух или большего числа сил, таких, как которые действуют в различных направлениях и в различных точках? Если вопрос решается положительно, то мы можем утверждать, что вертикальное перемещение в точке 2 под действием и приложенных одновременно, дается соотношением

и что аналогичные соотношения будут иметь место в случае действия на тело любого числа сил. Изучим этот вопрос.

Мы примем, на основании закона Гука, что приложенная в то время, когда действует, вызывает пропорциональный добавок к вертикальной составляющей перемещения

в точке 2. Мы также допустим, что коэффициент пропорциональности не имеет той величины, которую он имел бы, если действовала одна. То-есть, мы заменим соотношение (3) следующим:

Оно имеет место тогда, когда приложена после и нами допущена возможность того, что может быть отличным от

Теперь мы примем следующую последовательность действий:

(a) На упругое вначале ненагруженное тело (ферму) мы подействовали силой и получили перемещение, данное (1).

(b) Оставляя приложенной, мы подействовали силой Согласно нашему предположению, общее перемещение возрастет до величины, данной (4).

(c) Оставляя приложенной, мы удалим силу т. е. приложим силу — в точке 1. Закон Гука утверждает, что получающееся изменение будет пропорционально приложенной силе, но так как сила-Р, приложена, когда и уже действуют, и так как мы не предполагаем, что коэффициент пропорциональности тот же, каким он был бы, если сила-Р действовала одна, то мы должны обозначить его и допустить возможность того, что может быть отличным от и частично зависящим от

Таким образом для вертикального перемещения точки 2 после удаления силы будем иметь

(d) Удалим т. е. приложим силу в точке 3. Так как никакая другая сила в это время не действует, то коэффициент влияния будет равняться Итак, окончательное перемещение будет выражаться формулой

Теперь тело больше не подвержено действию внешних сил и поэтому (будучи упругим) вернется к своей

первоначальной фораме, окончательное перемещение, данное (5), должно обратиться в нуль. Следовательно, мы имеем равенство

Согласно сформулированному нами закону Гука не зависят от от Следовательно, мы имеем

где постоянная; теперь из (4), если закон Гука постулируется для всех типов нагрузки, мы видим, что должно быть нулем. Отсюда видно, что, если и возрастают одновременно и в одном и том же отношении, то тоже будет возрастать в том же отношении. Итак, мы установили принцип суперпозиции для любых двух сил.

Подобное же доказательство показывает, что величина коэффициента влияния третьей силы будет одной и той же, независимо от того, действуют другие две силы или нет, т. е. мы можем распространить наш принцип на любые три силы. По индукции мы можем доказать, что принцип суперпозиции сохраняется для любого числа каких-либо сил. Перемещение, вызванное в точке 2 некоторым числом сил будет даваться выражением вида

где «коэффициенты влияния», значения которых не зависят от порядка, в котором приложены силы. Заметим, что наше доказательство опиралось на два различных постулата. Первый: любая система нагрузок (взятые силы приложены в любом числе точек и в любых направлениях) вызывает определенное и пропорциональное силам перемещение в какой-нибудь точке (закон Гука). Второй:

тело, о котором идет речь, возвращается к своей первоначальной форме, после того как произвольная система приложенных сил удалена. Последний постулат можно принять как определение упругости. Очевидно, что эти постулаты образуют основу любой из тех теорем, которые мы впоследствии будем доказывать, пользуясь принципом суперпозиции.