Приближенное вычисление наименьшей критической силы методом Рэлея

482. Согласно равенству (32), критическая сила определяется выражением

где функция у является «формой продольного изгиба» (§ 466). Если она известна, то интегралы можно оценить и вычислить соответствующую критическую нагрузку. Так, подставив у в форме (2), мы сразу получим формулу (3).

Будем рассматривать выражение (33) в тех случаях, когда формы продольного изгиба точно неизвестны. Допустим, что вместо у в выражение (33) мы подставили некоторую функцию от X, удовлетворяющую условиям шарнирного закрепления на концах стержня и разлагающуюся в ряд Фурье по синусам вида:

Предполагая, что дифференцирование рядов законно, мы имеем

(Штрихами обозначено дифференцирование по Подставив в (33), получим: I

Покажем, что члены типа из ряда, стоящего в знаменателе, выпадут. На самом деле, согласно равенству (34), мы имеем:

эта величина равна нулю, потому что числа и (от целые и, кроме того, Аналогично можно показать, что

и что

Упростив (35) с помощью этих соотношений, мы имеем:

Это выражение определяет величину получающуюся после подстановки рядов Фурье (34) в выражение (33). Заметим, что, как и было установлено раньше, абсолютная величина прогиба не существенна.

483. Из (36) видно, что все положительны. Поэтому мы можем сказать, что выражение (37) аналогично, например, формуле для средней плотности тела, образованного из тел с различными плотностями. Величины суть аналоги объемов его составных частей, а являются аналогами плотностей различных частей тела. Числитель выражения (37) — аналог полной массы тела, а знаменатель — аналог всего объема. И очевидно, что так же как средняя плотность не может быть меньше плотности самой легкой из составляющих частей, так и величина определяемая выражением (37), не может быть меньше чем Другими словами, так как необходимо положительны, представляет собой наименьшее, отличное от нуля, значение, которому может равняться отношение, стояпее в правой части (33).

484. Если в рядах (34) коэффициенты малы в сравнении с коэффициентом то в числителе и знаменателе выражения будут величинами второго порядка малости по отношению к и значение определенное из (37), будет отличаться от т. е. от значения (37) при на величину второго порядка малости. Отсюда видно, что если форма, принятая для у, является хорошим приближением к первой форме продольного изгиба, то вычисленное из будет очень хорошим приближением для первой критической силы. Заметим, что эта величина будет обязательно больше истинной.

Для примера возьмем для у такое выражение: Оно обращается в нуль на обоих концах стержня. Вычислим производные:

Рассматривая В как постоянную, мы из (33) получим

Проведенная оценка вместо коэффициента дала коэффициент 12.

Мы взяли для неподходящую форму и поэтому получим большую ошибку (около но характер ошибки как раз тот, которого мы ожидали. Ниже в § 486 мы увидим, почему здесь нельзя ждать хорошего совпадения.