Распространение радиальных колебаний в шаре или сферической оболочке
371. В предыдущих параграфах мы исследовали характер и частоты свободных колебаний простого гармонического типа по времени, происходящие в сплошном изотропном шаре. Теперь рассмотрим характер движения, получающегося тогда, когда в некоторой области внутри шара возникает произвольное возмущение, или когда какое-нибудь возмущение распространяется внутрь шара от его поверхности. Очевидно, что сначала некоторые части шара будут находиться в покое, а по истечении некоторого промежутка времени начнут двигаться.
372. Для того чтобы получить решение уравнения (41), соответствующее этим условиям, мы возьмем «потенциал смещения» (§ 367) в виде некоторой, пока неизвестной функции 9, зависящей от 
Запишем, что
и обозначим:
Опустив член с 
мы приведем уравнение (41) к виду
Проинтегрировав, получим:
(Вообще говоря, справа нужно поставить произвольную функцию от 
но, согласно (I), эта функция не будет влиять на значение 
следовательно, не нарушая общности, ее можно опустить). Положим:
Уравнение (53) приведется к виду:
Легко проверить, что это уравнение имеет следующее «функциональное решение»:
в котором 
являются произвольными функциями от 
Таким образом общее решение уравнения (41) при отсутствии массовых сил имеет вид:
отсюда:
Вместо 
мы написали 
373. Функцию 
можно интерпретировать, как «волну», которая, не меняя своей формы, движется с постоянной скоростью с в направлении возрастающих 
На самом
деле вполне очевидно, что значение функции на расстоянии 
в момент времени 
равно ее значению на расстоянии 
в момент времени 
Аналогично функцию 
можно интерпретировать как волну, которая, не меняя своей формы, движется с постоянной скоростью с в направлении убывающих 
Согласно (IV) и (54), имеем:
дает
и, следовательно, (VII)
Для обозначения начальных значений величин (в момент времени 
будем использовать индекс нуль. Из (VI) имеем:
и
откуда
С помощью (VII) можно вычислить и 
если заданы и, и 
Из (VIII) и 
мы имеем
Таким образом, вид функций 
можно определить, когда заданы 
Следовательно, формулы (55) и (56) дают полное представление о тех явлениях, которые могут произойти внутри щара, когда заданы некоторые чисто радиальные начальные возмущения. Формулы (55) и (56)
описывают движение до тех пор, пока возмущение не достигнет свободной, или какой-нибудь закрепленной поверхности, или центра. После того как это произошло, нужно учитывать явление отражения.
Скорость распространения
374. Мы заметили, что фронт волны, т. е. поверхность раздела между возмущенной и невозмущенной областями, в нашем случае сферическая поверхность с центром в начале, движется нормально самой себе (т. е. по радиусу). Скорость этого движения равна:
Волны расширения, если нет вращения, всегда движутся с этой скоростью. Это общее заключение можно вывести из уравнений движения. Волны вращения, если нет расширения, как можно показать, движутся всегда со скоростью 
