Напряжения в крюке узкого прямоугольного поперечного сечения
426. Было сделано много попыток для того, чтобы дать приближенную теорию напряжений, возникающих в крюках подъемных кранов, железнодорожных сцеплений и т. д. Большинство из этих попыток почти не связаны с точными уравнениями теории упругости и поэтому мы не будем останавливаться на них в этой книге. Рассмотрим только задачу, связанную с крюком узкого прямоугольного поперечного сечения, ввиду того, что ее можно рассматривать как пример плоского напряженного состояния. Подобно тому, как это было сделано в § 413, мы введем здесь в соответствии
с «полуобратным» методом Сен-Венана некоторые упрощающие предположения.
Рассматривается крюк, указанный пунктирными линиями на рис. 108. Вертикальная прямая, линия действия приложенной силы 
проходит через О, центр внутренней и внешней поверхностей крюка. За полярную ось возьмем горизонтальную прямую, проходящую через О. Ясно, что область наибольших напряжений соответствует малым 6. Предположим, что, по крайней мере, эта, интересующая нас, часть крюка будет частью кольца. Рассмотрим результируюпюе усилие в сечении с координатой 0.
Рис. 108.
Оно состоит из;
(а) силы, перпендикулярной плоскости сечения, величины 
;
(b) силы, параллельной плоскости сечения (или перерезывающей силы), величины 
;
(с) изгибающего момента величины, пропорциональной 
Что касается компонентов напряжения, вызванных этими усилиями, то очевидно; компонент 
является следствием (а) и (с), а компонент 
следствием 
Основываясь на этом, попробуем удовлетворить условиям задачи, приняв, что;
Теперь, на основании выражений для компонентов напряжения (44), мы видим, что типовое решение (39) при 
дает соответствующее напряженное состояние.
Осталось выяснить, можно ли только с помощью выражений (44) удовлетворить граничным условиям.
427. Пусть 
являются соответственно раднусамн внутренней и внешней поверхностей крюка (рнс. 108). На рис. 108 изображено также поперечное сечение крюка, имеющее вид высокого и узкого прямоугольника. Согласно (I) и (44) мы имеем следующую систему напряжений;
Система включает три произвольные постоянные. Нам нужно удовлетворить четырем граничным условиям, а именно:
Граничные условия такого рода можно вполне принять, так как вид формул (48) для 
показывает, что они могут вместе обратиться в нуль. Мы найдем, что
Перерезывающая сила 
§ 426 возникает в результате
действия 
Мы имеем;
или, согласно (48),
Последнее равенство будет имееть место после того, как мы воспользуемся (111). Из этого уравнения определяют 5,, после чего становятся известными 
Таким образом компоненты напряжения (48) вычисляются.
428. Итак, мы нашли решение, удовлетворяющее всем условиям задачи, для тела, изображенного на рисунке 108 сплошными линиями, а именно, для полукольца, нагруженного перерезывающими усилиями на концевых сечениях. Наше решение соответствует тому случаю, когда усилия на концевых сечениях распределены так, как требуют соотношения (48) после подстановки в них 
и из формулы (III) последнего параграфа, т. е. решение будет точным тогда, когда приложенные касательные напряжения изменяются в зависимости от 
такому закону:
Если усилия приложены как-нибудь иначе, то решение уже не является точным, но, воспользовавшись принципом Сен-Венана, мы можем утверждать, что оно будет практически точным в тех местах тела, которые расположены достаточно далеко от мест приложения нагрузки. Таким образом мы 
всяких ограничений относительно способа приложения усилий по концевым сечениям полукольца можем принять наше решение в области малых 6, где напряжения максимальны. Рассуждая таким образом, мы установили, что наше решение дает достаточно точные сведения о напряженном состоянии как раз в той части крюка высокого прямоугольного поперечного сечения, в которой их более всего необходимо знать.
Задача рассматривалась как пример плоской деформации.
Чтобы получить решение задачи в случае плоского напряженного состояния, нужно дописать к найденным компонентам напряжения члены, которые, как и раньше, можно найти методами § 417. Эти члены не имеют практического значения.
