Соотношение между функциями напряжений для плоской деформации и для плоского напряжённого состояния
439. Плоское напряженное состояние, соответствующее только что разобранному случаю плоской деформации, можно исследовать подобно тому, как это делалось в § 417. Сейчас задача заключается в том, чтобы связать функцию напряжений для плоской деформации с функцией напряжений для плоского напряженного состояния (например 
при предположении, что обе вызваны действием одних только массовых сил, имеющих один и тот же потенциал (2). Приведенное ниже исследование применимо к любой из таких задач. Пусть X — функция напряжения, соответствующая плоской деформации, и мы, согласно (8), имеем:
где X — функция напряжений, соответствующая плоскому напряженному состоянию, для нее существует выражение:
которое получается из (18) после подстановки в него А из (15). Последнее соотношение справедливо тогда, когда 2 подчиняется условию
Мы свяжем между собой X к X только тогда, когда это условие выполняется. В выражении (64):
и должна быть гармонической функцией двух переменных. Следовательно, функция 
должна удовлетворять уравнению:
Пусть 
в выражении (64) равно:
тогда, используя (65), мы из (19) получим:
С помощью (63) и (65) мы можем видеть, что функция определенная равенством (II), является гармонической функцией двух переменных. Из 
имеем:
Левая часть этой формулы представляет собой величину, стоящую в фигурных скобках в правой части формулы (64). Следовательно, если мы определяем функцию напряжений X с помощью формулы (64), то используя (I) в качестве выражения для 
мы получим
Члены с 
не влияют на средние по толщине пластинки значения компонентов напряжения, так как а
Если 
мало, то ими можно пренебречь.
Мы уже показали, что функция определенная формулой (19), является гармонической функцией двух переменных, следовательно, уравнение (20) удовлетворяется. Таким образом, полученная для X формула (66) удовлетворяет всем тем требованиям, которым должна удовлетворять функция напряжений плоского напряженного состояния.
440. Заметим, что множителя стоящего перед функцией X в выражении (66), не было в аналогичных исследованиях § 417. Там мы говорили о функции напряжений, плоского напряженного состояния, возникшего в силу действия заданных поверхностных сил (массовые силы отсутствовали). Здесь мы приняли, что 
являются функциями напряжений для напряженных состояний, возникших в результате действия массовых сил. Граничные условия в нашей задаче, согласно (7), имеют вид:
Компоненты напряжения в случае плоской деформации, согласно (7), имеют вид:
Мы обозначали их 
для того, чтобы отличить от компонентов напряжения, соответствующих плоскому напряженному состоянию. Последние выражаются так:
Функция X определяется по формуле (66). Пренебрегая в формуле (66) членами с множителем 
мы получим:
Теперь, воспользовавшись (I) и (II), мы найдем следующие соотношения между компонентами напряжения, соответствующими плоскому напряженному состоянию и плоской деформации
Очевидно, что если для задачи, в которой действуют массовые силы, мы найдем компоненты напряжения, соответствующие случаю плоской деформации, то умножением их на некоторый коэффициент мы не сможем получить компоненты напряжения, соответствующие случаю плоского напряженного состояния, так как компоненты напряжения, найденные таким путем, не будут, вообще говоря, удовлетворять граничным условиям.
Но мы можем использовать соотношения (67) для того, чтобы связать части компонентов напряжения, зависящие только от 2, и провести далее решение задачи обычным путем.
