Применение к упругой энергии, запасенной «начальными напряжениями»

83. Уравнение (7) предыдущего параграфа по форме вполне аналогично уравнению (5) из § 77. Поэтому вывод § 77, касающийся частной системы с начальными напряжениями, применим к системам с начальными напряжениями вообще, если только их можно ввести в область применимости предыдущей теоремы.

В § 74 мы заметили, что энергию, запасенную в результате начальных напряжений, можно возвратить, если тело разрезать подходящим образом. Ясно, что наоборот можно осуществить условия начальных напряжений, если разрезанному телу задать подходящим образом выбранные перемещения. Эти перемещения надо задавать так, чтобы было возможно соединение отделенных поверхностей. Так, в задаче, данной на рис. 27, мы предполагали, что В вначале соединено с А только на левом конце. Получающееся при этом условие для возникновения начального напряжения можно представить себе в виде задания перемещения X на правом конце В при условии, что правая крышка С остается неподвижной, т. е. при условии, что заданное перемещение правого конца А равно нулю.

Рис. 30.

Рассмотрим тело (рис. 30), которое с помощью подходящим образом выбранных разрезов освобождено от начальных напряжений. Каждую пару точек на противоположных сторонах разреза, как например которые вначале соприкасались, можно опять привести в соприкосновение приложением двух равных и противоположно направленных сил, образующих «растягивающее усилие» нужной величины. Если все такие пары точек привести в соприкосновение, то

мы фактически получим тело с начальными напряжениями. Начальные напряжения, полученные таким путем, будут теми же, что и вначале. Таким образом, мы видим, что тело с начальными напряжениями эквивалентно телу без начальных напряжений, подверженному действию системы самоуравновешивающихся растягивающих сил (или в специальном случае сжимающих сил). Поведение этого тела под действием внешних сил будет точно представляться последней системой растягивающих (или сжимающих) сил, если последняя всегда такова, что входящие в нее силы не допускают никакого изменения в «соответствующих» перемещениях.

84. Пусть в уже ненапряженном, в результате проведения разрезов, теле представляет собой расстояние между какими-либо двумя точками (рис. 30), которые до разрезания были в соприкосновении. Пусть величина растягивающей силы, приложенной в этих точках тогда, когда все отделенные поверхности приведены в соприкосновение. В соответствии с § 29 главы и другие растягивающие силы, нужные для образования конфигурации с начальными напряжениями, скажем, можно рассматривать как «силы», а как величины «соответствующих» им перемещений. Применим (7) § 82 к введенным силам и перемещениям. Силы будем интерпретировать как наши растягивающие силы. Так что теперь представляет собой Таким образом, «первая конфигурация» § 82 представляет собой состояние при начальном напряжении. Это первоначальное состояние нарушалось проведением разрезов, но оно было восстановлено, когда зазоры, появившиеся в результате разрезов, были закрыты.

Во «второй» (или окончательной) конфигурации § 82 перемещения остаются без изменения, но действуют добавочные силы а прежние силы изменяют свои значения. Согласно проводимой нами интерпретации величин тело с начальными напряжениями в этой конфигурации подвержено действию внешних сил при этом, так как все еще имеют значения зазоры закрыты. Естественно ожидать, что растягивающие силы, нужные для сохранения их закрытыми, в случае действия сил будут иметь значения,

отличные от прежних значений, которые они имели когда не действовали.

После всего сказанного уравнение (7) можно записать в форме

где и обозначает полную упругую энергию, запасенную в теле с начальными напряжениями после приложения внешних сил обозначает упругую энергию только начальных напряжений, равную:

обозначает упругую энергию, которая была бы запасена в теле в результате действия при отсутствии начальных напряжений.

85. U - обязательно положительная величина, и мы, следовательно, для тел с начальными напряжениями доказали неравенство и и. Уравнение (8) является обобщением (5) из § 77. Как теперь показано, частный вывод § 77 сохраняется для систем с начальными напряжениями вообще. То-есть, если имеется некоторое тело с начальными напряжениями, то энергия начальных напряжений (а именно, энергия, запасенная в теле до того как на него подействовали внешние силы) всегда меньше, чем всякая другая энергия, которая может быть запасена в том же теле при условии сохранения связей между его различными частями.

Мы кроме того попутно установили в § 84, что принцип суперпозиции имеет место для тел с начальными напряжениями вообще (ср. § 77). Наконец, уравнение (9) § 84 является обобщением (4).

86. Для иллюстрации теоремы рассмотрим следующий пример (выпускные экзамены в Оксфорде, 1932 г.). Квадратная ферма (рис. 31) составлена из шести стержней. Стержни имеют одинаковую площадь поперечного

Рис. 31.

сечения а. Когда последняя сторона помещалась на свое место, то было обнаружено, что она длиннее остальных на величину была силой установлена в нужное положение и вызвала в конструкции напряжения. Найти усилия во всех элементах фермы, предполагая, что потери устойчивости не произошло.

Из симметрии ясно, что полные удлинения и имеют одно и то же значение. Пусть — полное удлинение и полное удлинение а полное увеличение расстояния между Тогда общая формула (13) главы II для полного удлинения или обозначенного через дает величину:

так что:

Полное удлинение, которое должен испытывать стержень после установки на место равно

Полную упругую энергию в собранной (и имеющей начальные напряжения) ферме можно, следовательно, записать так:

Согласно теореме § 85, удлинения должны иметь те величины, при которых и минимально. Таким образом, для определения их мы имеем соотношения:

и мы получаем, что

Отсюда, используя (IV), мы пайдем, что полное укорочение

А тогда сила сжатия в равна